78 4 DIE NORMALVERTEILUNG n = 25; p = 0,6 n = 50; p = 0,3 n = 100; p = 0,5 k 0,1 O P(H = k) 5 10 15 20 25 k 0,1 O P(H = k) 30 40 50 60 70 k 0,1 O P(H = k) 30 40 50 60 μ = 15; σ ≈ 2,4 μ = 15; σ = 3,2 μ = 50; σ = 5 Man sieht: Wird n größer, dann hat die vom Histogramm erzeugte „Treppenfunktion“ immer mehr die Form einer Gauß’schen Glockenkurve. Daher unterscheiden sich Flächenberechnungen im Histogramm bzw. unter der zugehörigen Gauß´schen Glockenkurve beliebig wenig, wenn nur n groß genug ist. Wir vermuten daher: Satz (Grenzwertsatz von De Moivre-Laplace in „lockerer“ Formulierung) Ist n genügend groß, dann kann eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p näherungsweise durch eine Normalverteilung mit den Parametern μ = n · p und σ = � _n · p · (1 – p) ersetzt werden. Dieser Satz ist nicht sehr genau formuliert, weil nicht klar ist, was „genügend groß“ bzw. „näherungsweise“ bedeuten soll. In der Praxis verwendet man folgende Faustregel für die Approximation einer Binomialverteilung durch eine passende Normalverteilung: Faustregel E ine Binomialverteilung darf näherungsweise durch eine Normalverteilung ersetzt werden, wenn gilt: n · p · (1 – p) > 9 4.61 Löse Aufgabe 4.60 näherungsweise mithilfe einer passenden Normalverteilung! LÖSUNG • Die Anzahl H der Fehler ist binomialverteilt mit n = 2 000 000 000 und p = 0,000 05. • Die Faustregel ist erfüllt, weil n · p · (1 – p)= 99 995 > 9. Wir ersetzen die Binomialverteilung von H näherungsweise durch eine Normalverteilung mit μ = n · p = 100 000und σ = � _n · p · (1 – p) ≈ 316,219 860 2 • Mit Technologie erhält man: P (Hª99500) ≈ 0,056 92 4.62 Ein Würfel wird 120 000-mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens 20100 geworfene Sechser mithilfe einer Binomialverteilung und näherungsweise mithilfe einer passenden Normalverteilung! 4.63 Daten im Umfang von 64 Terabit werden bitweise von einer Festplatte gelesen. Die Wahrscheinlichkeit für das fehlerhafte Lesen eines Bits beträgt 0,000 0001. H gibt die Anzahl der fehlerhaft gelesenen Bits an. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass H von E (H) um höchstens 6 000 Bits abweicht! 4.64 BigMarket versendet jährlich ca. 580 Millionen Pakete. Die Wahrscheinlichkeit für eine Retoure beträgt ca. 17%. H gibt die Retourenanzahl pro Jahr an. 1) Berechne den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von H! 2) Ermittle näherungsweise ein symmetrisches Intervall um μ, in dem H mit 90 %-iger Wahrscheinlichkeit liegt! Ó Arbeitsblatt pz2h6h AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==