8 1 Stammfunktion und Integral BEISPIEL Gegeben ist die Funktion f: ℝ* ¥ ℝ mit f (x) = – 1 _ x2 . Wir betrachten folgende Funktionen: F 1: ℝ* ¥ ℝ mit F 1 (x) = 1 _ x F 2: ℝ* ¥ ℝ mit F 2 (x) = { 1 _ x + 1 für x < 0 1 _ x für x > 0 x F 1 (x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 –3 –2 –1 0 x F 2 (x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 –3 –2 –1 0 Beide Funktionen sind Stammfunktionen von f, denn es gilt: F 1 ’ (x) = F2 ’ (x) = – 1 _ x2 für alle x * ℝ*. Aber wie man an den Graphen sieht, gibt es kein c * ℝ, sodass F 2 (x) = F 1 (x) + c für alle x * ℝ* gilt. Einige Stammfunktionen R Funktion eine Stammfunktion Beweis f(x) = k (mit k * R) F (x) = k · x F’(x) = k = f(x) f (x) = x r (mit r * R*,r≠–1) F (x) = x r + 1 _ r + 1 F’(x) = 1 _ r + 1 ·(r+1)·x r = x r = f (x) f(x) = sinx F (x) = – cos x F’ (x) = – (– sin (x)) = sin (x) = f (x) f(x) = cosx F(x) = sinx F’ (x) = cos (x) = f (x) f (x) = ex F (x) = ex F’ (x) = ex = f (x) f (x) = a x (mit a * R+, a ≠ 1) F(x) = a x _ ln a F’ (x) = 1 _ ln a · a x ·lna = ax = f (x) f(x) = 1 _ x (fürx>0) F(x) = ln (x) F’(x) = 1 _ x = f (x) Summen, Differenzen und Vielfache von Funktionen R Definition Sind f: A ¥ ℝ und g: A ¥ ℝ reelle Funktionen, dann setzt man: (1) f + g: A ¥ ℝ mit (f + g)(x) = f(x) + g(x) (2) f – g: A ¥ ℝ mit (f – g)(x) = f(x) – g(x) (3) k · f: A ¥ ℝ mit (k · f) (x) = k · f (x) (für k * ℝ) Die Definition (1) lässt sich so verallgemeinern: Sind f 1 , f 2 …, f n reelle Funktionen von A nach ℝ, dann setzt man: f 1 + f 2 +…+fn: A ¥ ℝ mit (f 1 + f 2 +…+fn) (x) = f1 (x) + f2 (x) + … + fn (x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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