88 5 SCHÄTZEN VON ANTEILEN BEWEIS Die absolute Häufigkeit H des untersuchten Merkmals in einer Stichprobe vom Umfang n ist binomialverteilt mit den Parametern n und p. Sei n so groß, dass H näherungsweise normalverteilt mit μ = n · p und σ = � _n · p · (1 – p) ist. Wir ermitteln ein um μ symmetrisches Intervall der Form [ μ – z · σ; μ + z · σ ] mit geeignetem z > 0, für das gilt: P (μ – z · σ ª H ª μ + z · σ) = γ Durch Standardisierung der Verteilung von H bestimmt man z mithilfe der Standardverteilungsfunktion Φ so: P (μ – z · σ ª H ª μ + z · σ) = γ ⇔ Φ (z) – Φ (– z) = γ ⇔ 2 · Φ (z) – 1 = γ ⇔ Φ (z) = 1 + γ _ 2 Einsetzen für μ und σ sowie Dividieren durch n in der obigen Ungleichungskette liefert: P (p – z · � ______ p · (1 – p) __ n ªhªp+z·� ______ p · (1 – p) __ n ) ≈ γ.Daher erhalten wir als γ-Streubereich für h≈ [ p – z · � ______ p · (1 – p) __ n ;p+z·� ______ p · (1 – p) __ n ] mit Φ (z) = 1 + γ _ 2 . 5.01 Unter den Beschäftigten des Fahrzeugherstellers YesEco beträgt der relative Anteil der Männer 0,72. Ermittle den 95 %-Streubereich für die relative Häufigkeit h der Männer in einer Stichprobe vom Umfang 200! LÖSUNG Wir bestimmen den gesuchten Streubereich für n = 200, p = 0,72 und γ = 0,95näherungsweise mithilfe des letzten Satzes. Mit Technologieeinsatz – wie zB auf Seite 94 beschrieben – erhält man: z ≈ 1,96und 95 %-Streubereich für h ≈ [ 0,65; 0,79 ] = [ 65 %; 79 % ] BEMERKUNG Bei der näherungsweisen Angabe eines Streubereichs rundet man die untere Schranke ab und die obere Schranke auf, weil ein etwas zu großer Streubereich mehr Sicherheit liefert als ein zu kleiner. 5.02 Der Hersteller eines Massenartikels nimmt an, dass ca. 5 % der Produktion fehlerhaft sind. Zur Qualitätskontrolle wird eine Stichprobe vom Umfang 1 500 erhoben. Gib den 95 %-Streubereich für den Prozentsatz fehlerhafter Ware in der Stichprobe an! 5.03 Ungefähr 60 % der Migränepatienten reagieren auf Entspannungsübungen positiv. In einer Studie führen 100 zufällig ausgewählte Migränepatienten solche Übungen aus. Gib den 95 %-Streubereich für den Prozentsatz der Teilnehmenden an, die nicht positiv reagieren! 5.04 Voruntersuchungen haben gezeigt: Bei 30 % der Patienten wirkt der Blutdrucksenker ReduBlo nicht. Für eine neue Untersuchung werden 80 Bluthochdruckpatienten zufällig ausgewählt. Gib einen 95 %-Schätzbereich für den Prozentsatz jener Patienten in der Stichprobe an, bei denen ReduBlo nicht wirkt! 5.05 In einer Schule gibt es ca. 15 % linkshändige Kinder. Für eine Stichprobe werden 100 Kinder aus der Schule zufällig ausgewählt. Gib a) den 95 %-Streubereich, b) den 99 %-Streubereich für den Prozentsatz der linkshändigen Kinder in dieser Stichprobe an! AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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