9 1.1 Stammfunktionen Satz Sind F und G Stammfunktionen der Funktionen f: A ¥ ℝ bzw. g: A ¥ ℝ, dann ist (1) die Funktion F + G eine Stammfunktion der Funktion f + g, (2) die Funktion F – G eine Stammfunktion der Funktion f – g, (3) die Funktion k · F eine Stammfunktion der Funktion k · f, (wobei k * ℝ). BEWEIS Für alle x * A gilt: (1) (F + G)’(x) = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) (2) (F – G)’(x) = F’(x) – G’(x) = f(x) – g(x) = (f – g)(x) (3) (k · F)’ (x) = k · F’ (x) = k · f (x) = (k · f) (x) Die Regel (1) dieses Satzes lässt sich so verallgemeinern: Satz Sind F 1, F 2, …, Fn Stammfunktionen der Funktionen f1, f 2, …, fn, dann ist die Funktion F 1 + F 2 + … + F n eine Stammfunktion der Funktion f1 + f 2 +…+fn. BEWEIS Für alle x aus dem gemeinsamen Definitionsbereich dieser Funktionen gilt: (F 1 + F 2 + … + F n)’ (x) = F1 ’ (x) + F 2 ’ (x) + … + F n ’ (x) = f 1 (x) + f 2 (x)+…+fn (x) = = (f 1 + f 2 +…+fn) (x) Stammfunktionen von Polynomfunktionen R Mithilfe der bisher bewiesenen Sätze können wir zu jeder Polynomfunktion eine Stammfunktion ermitteln. Ist f eine Polynomfunktion mit f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a0 , dann ist die folgende Funktion F eine Stammfunktion von f: F(x) = a n _ n + 1 x n + 1 + a n – 1 _ n x n + … + a 1 _ 2 x 2 + a 0 x Überprüfe dies selbst durch Differenzieren! Stammfunktionen von rationalen Funktionen R Rationale Funktionen kann man mithilfe der Quotientenregel problemlos differenzieren, es gibt aber für rationale Funktionen keine allgemeine Regel zur Ermittlung von Stammfunktionen. In einigen Fällen kann man eine Stammfunktion finden, wenn man den Funktionsterm in geeigneter Weise umformt, wie die nächste Aufgabe zeigt. 1.03 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f mit f (x) = x 2 – 1 _ x 2 ! LÖSUNG f(x) = x 2 – 1 _ x 2 =1–1 _ x 2 =1–x– 2 w F(x)=x–x – 1 _ – 1 =x+ 1 _ x Stammfunktionen von rationalen Funktionen müssen selbst nicht rational sein. ZB ist F mit F (x) = ln (x) nicht rational und eine Stammfunktion der rationalen Funktion f mit f (x) = 1 _ x . 1.04 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: R ¥ R! a) f (x) = 1 c) f(x) = 0 e) f (x) = x4 g) f (x) = – 3x2 b) f(x) = – 1 _ 2 d) f(x) = x f) f(x) = –x 5 h) f (x) = 5 x9 kompakt Seite 22 AUFGABEN R Ó Lernapplet qk5rz4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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