90 5 SCHÄTZEN VON ANTEILEN Zutreffend ist vielmehr: Nicht p ist eine Zufallsvariable, sondern die beiden Grenzen des Konfidenzintervalls sind Zufallsvariablen, die je nach dem beobachteten Wert h der relativen Häufigkeit in der erhobenen Stichprobe zufällig schwanken. Man erhält somit folgende frequentistische (dh. von der häufigen Wiederholung eines Zufallsversuchs ausgehende) Interpretation eines 95 %-Konfidenzintervalls: Erhebt man sehr oft Stichproben vom Umfang n, so enthalten in ca. 95 % aller Stichproben die ermittelten 0,95-Konfidenzintervalle den unbekannten Wert des relativen Anteils p. Diese Deutung ist nebenstehend veranschaulicht. Da die relative Häufigkeit h des Merkmals von Stichprobe zu Stichprobe zufällig schwankt, erhält man im Allgemeinen unterschiedliche Konfidenzintervalle. Von diesen überdecken ca. 95 % den relativen Anteil p in der Grundgesamtheit. Frequentistische Deutung eines γ-Konfidenzintervall Erhebt man sehr oft Stichproben vom Umfang n, so enthalten in ca. (100 · γ) % aller Stichproben die ermittelten γ-Konfidenzintervalle das unbekannte p. Näherungsweise Berechnung eines Konfidenzintervalls L Satz Ist h die relative Häufigkeit eines Merkmals in einer Stichprobe von großem Umfang n, dann gilt für den relativen Anteil p des Merkmals in der Grundgesamtheit: γ-Konfidenzintervall für p ≈ [ h – z · � ______ h · (1 – h) __ n ;h+z·� ______ h · (1 – h) __ n ] mit Φ (z) = 1 + γ _ 2 BEWEIS p * γ-Konfidenzintervall É É zugehöriger γ-Streubereich enthält den beobachteten Stichprobenwert h É É p – z · � ______ p · (1 – p) __ n ªhªp+z·� ______ p · (1 – p) __ n mit Φ (z) = 1 + γ _ 2 Um Schranken für p zu erhalten, müsste man die beiden Ungleichungen nach p auflösen und die entstehenden quadratischen Ungleichungen aufwändig lösen. Für eine näherungsweise Bestimmung des Konfidenzintervalls kann man vereinfacht so vorgehen: Weil n groß voraussetzt wurde, ist der Wurzelausdruck klein und ändert sich wenig, wenn man in ihm den relativen Anteil p durch die beobachtete relative Häufigkeit h in der Stichprobe ersetzt. Dadurch erhält man näherungsweise: p * γ-Konfidenzintervall ⇔ p – z · � ______ h · (1 – h) __ n ªhªp+z·� ______ h · (1 – h) __ n Durch algebraische Umformung der beiden Ungleichungen ergibt sich näherungsweise die folgende Aussage (Rechne nach!): p * γ-Konfidenzintervall ⇔ h – z · � ______ h · (1 – h) __ n ªpªh+z·� ______ h · (1 – h) __ n Somit ist das Intervall [ h – z · � ______ h · (1 – h) __ n ;h+z·� ______ h · (1 – h) __ n ] mit Φ (z) = 1 + γ _ 2 (zumindest näherungsweise) das gesuchte γ-Konfidenzintervall von p. 1. Stichprobe 2. Stichprobe 3. Stichprobe 4. Stichprobe 5. Stichprobe p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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