92 5 SCHÄTZEN VON ANTEILEN Die Sicherheit eines Konfidenzintervalls ermitteln L 5.11 Vor einer Wahl wird der prozentuelle Stimmenanteil p der Zukunftspartei ZP geschätzt. In einer Stichprobe von 2 000 wahlberechtigten Personen ergibt sich, dass 34 % der Befragten die ZP wählen wollen. Daraufhin gibt die Morgenzeitung das Konfidenzintervall [0,32; 0,36] und die Abendzeitung das Konfidenzintervall [0,33; 0,35] für p an. Ermittle die Sicherheit der beiden Konfidenzintervalle! LÖSUNG Beide Zeitungen gehen von derselben Stichprobe mit dem Umfang n = 2 000und dem Stichprobenergebnis h = 0,34 aus. • D as Konfidenzintervall der Morgenzeitung hat die Länge d = 0,04. Aufgrund des Satzes auf Seite 90 gilt für die Länge d des Konfidenzintervalls näherungsweise der Zusammenhang: d = 2 · z · � ______ h · (1 – h) __ n mit Φ (z) = 1 + γ _ 2 Mit Technologieeinsatz ermittelt man γ – wie zB auf Seite 94 beschrieben – so: Aus der ersten Gleichung erhält man nach Einsetzen der bekannten Werte: z ≈ 1,89 Aus der zweiten Gleichung ergibt sich dann: γ ≈ 0,94 • A nalog erhält man für die Abendzeitung: γ ≈ 0,65 • D ie Prognose der Morgenzeitung ist weniger genau, dafür aber mit ca. 94 % recht sicher. Dagegen „bezahlt“ die Abendzeitung ihre genauere Prognose mit dem viel höheren Risiko einer Fehlprognose von ca. 35 %. 5.12 Eine Befragung von 1 000 zufällig ausgewählten Männern ergab, dass sich 30 % elektrisch rasieren. Für den unbekannten relativen Anteil p der sich elektrisch Rasierenden in der männlichen Bevölkerung werden die Konfidenzintervalle A = [0,28; 0,32] und B = [0,29; 0,31] angegeben. Ermittle die Sicherheit von A und B! 5.13 Aufgrund einer Befragung von 500 zufällig ausgewählten Senioren behauptet ein Pharmakonzern: „20 % aller Senioren haben Venenprobleme“. Ermittle die Sicherheit, mit der man für den unbekannten Anteil der Senioren mit Venenproblemen unter allen Senioren das Konfidenzintervall a) [0,18; 0,22], b) [0,15; 0,25] angeben kann! Den erforderlichen Stichprobenumfang ermitteln L Satz Soll für den unbekannten relativen Anteil p eines Merkmals in einer Grundgesamtheit mittels einer großen Stichprobe ein γ-Konfidenzintervall der vorgegebenen Länge d ermittelt werden, dann gilt für den erforderlichen Stichprobenumfang n: n ≈ 4 z 2 ·h·(1 – h) __ d 2 mit Φ (z) = 1 + γ _ 2 Dabei ist h die vorweg noch unbekannte relative Häufigkeit des Merkmals in der zu erhebenden Stichprobe. Den Wert von h schätzt man aufgrund des Ergebnisses einer Vorerhebung, falls eine solche vorliegt. Andernfalls setzt man am besten h = 0,5. AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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