93 5.2 Konfidenzintervalle BEWEIS Die Länge d des Konfidenzintervalls beträgt d ≈ 2 · z · � ______ h · (1 – h) __ n mit Φ (z) = 1 + γ _ 2 . Daraus ergibt sich n ≈ 4 z 2 · h · (1 – h) __ d 2 mit Φ (z) = 1 + γ _ 2 . Ein Schätzwert für p aus einer eventuellen Vorerhebung kann als Schätzwert für h dienen. Andernfalls wählt man sicherheitshalber h so, dass n in der angeführten Formel möglichst groß ist. Das ist genau dann der Fall, wenn das Produkt h · (1 – h) für h * [ 0; 1 ] maximal ist. Zeige selbst, dass dies für h = 0,5 zutrifft! 5.14 Für den relativen Anteil p der Wähler der Partei Gemeinsam soll durch eine genügend große Stichprobe ein 95 %-Konfidenzintervall der Länge 0,04 bestimmt werden. Ermittle den dazu erforderlichen Stichprobenumfang n, wenn 1) bei einer Vorerhebung sich ca. 38 % für die Partei Gemeinsam aussprechen, 2) es keine Vorerhebung gibt! LÖSUNG 1) F ür γ = 0,95, d = 0,04 und (aufgrund der Vorerhebung) h ≈ 0,38erhält man nach dem letzten Satz mit Technologieeinsatz (wie zB auf Seite 94 beschrieben): z ≈ 1,96 und n ≈ 2 263 2) Mit h = 0,5erhält man auf analoge Weise: z ≈ 1,96 und n ≈ 2 402 5.15 Durch eine Erhebung soll für die Region Donau-Alpe-Adria der relative Anteil p der Haushalte mit Internetanschluss geschätzt werden. Ermittle, wie viele Haushalte in dieser Region zufällig ausgewählt und befragt werden müssen, damit man für p ein 95 %-Konfidenzintervall der Länge 0,04 angeben kann, wenn a) eine frühere Erhebung 64 % Haushalte mit Internetanschluss ergeben hat, b) keine Vorerhebung vorliegt! 5.16 Für den relativen Anteil p der „Atomkraft-Gegner“ in der Bevölkerung soll ein 95 %-Konfidenzintervall der Länge 0,02 angegeben werden. Ermittle, wie viele Personen befragt werden müssen, wenn 1) kein Schätzwert für p bekannt ist, 2) man nach einer Telefonumfrage mit 250 Personen schätzt, dass h ≈ 0,4 ist! 3) Berechne die relative Ersparnis an notwendigen Befragungen beim Ergebnis von 2) im Vergleich zum Ergebnis von 1)! Zusammenhänge zwischen γ, n und dbei Konfidenzintervallen L Geht man von einer vorgegebenen relativen Häufigkeit h in der Stichprobe aus (dh. hält man h konstant), dann bestehen folgende Zusammenhänge zwischen der Sicherheit γ, dem Stichprobenumfang n und der Länge d eines Konfidenzintervalls: (a) Sicherheit γ wird größer n konstant ⇐ ⇒ Konfidenzintervall-Länge d wird größer (b) Stichprobenumfang n wird größer γ konstant ⇐ ⇒ Konfidenzintervall-Länge d wird kleiner (c) Sicherheit γ wird größer d konstant ⇐ ⇒ Stichprobenumfang n wird größer BEGRÜNDUNG Für festes h gilt: (1) d ≈ 2 · z · � ______ h · (1 – h) __ n mit (2) Φ (z) = 1 + γ _ 2 Mithilfe von (1) und (2) kann man die drei Zusammenhänge begründen: (a) γ wird größer ⇔ Φ (z) wird größer ⇔ z wird größer ⇔ d wird größer (b) n wird größer ⇔ d wird kleiner (c) γ wird größer ⇔ Φ (z)wird größer ⇔ z wird größer ⇔ n wird größer AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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