5GRUNDKOMPETENZTRAINING Mathematik verstehen KOTH | DORNER
Mathematik verstehen Grundkompetenzentraining 5, Arbeitsheft Schulbuchnummer 180824 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 13. Juli 2022, GZ 2022-0.317.027, gemäß §14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 5. Klassen an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2018) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig; imprint Ilona Külen, Zusmarshausen Bildnachweis: S. 66: Paul Brennan / Getty Images - iStockphoto; S. 67: Carso80 / Getty Images - iStockphoto 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung und Layout: normaldesign, Schwäbisch Gmünd Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-12369-5 (Mathematik verstehen OS GK-Training AH 5) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik verstehen 5 GRUNDKOMPETENZTRAINING für die Reifeprüfung www.oebv.at KOTH | DORNER Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 INHALTSVERZEICHNIS TYP 1 – AUFGABEN A Terme und Formeln 3 B Zahlen und Zahlenmengen 7 C Quadratische Gleichungen 12 D Berechnungen in rechtwinkeligen Dreiecken 16 E Berechnungen in beliebigen Dreiecken 20 F Reelle Funktionen 23 G Lineare Funktionen 28 H Einige nichtlineare Funktionen 33 I Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen 40 J Vektoren 43 K Geometrische Darstellung von Vektoren und deren Rechenoperationen 46 L Geraden in R 2 52 TYP 2 – AUFGABEN 58 LÖSUNGEN 69 I. II. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können. Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können. AG-R 1 . 2 AG-R 2 .1 AG-R 2 . 2 TERME UND FORMELN A Grundwissen in Kurzform Regeln zum Umformen von Gleichungen Elementarumformungsregeln: Für alle reellen Zahlen A, B, C gilt: (1) A + B = C É A = C – B (2) A · B = C É A = C _ B (sofern B ≠ 0) Waageregeln: Für alle reellen Zahlen A, B, C gilt: (1) A = B É A + C = B + C (3) A = B É A · C = B · C (C ≠ 0) (2) A = B É A – C = B – C (4) A = B É A _ C = B _ C (C ≠ 0) Regeln zum Umformen von Termen Klammerauflösungsregeln: zB A – (B + C) = A – B – C Distributivgesetze: zB A · (B + C) = A · B + A · C Ausmultiplizieren von Klammern: zB (A + B) · (C – D) = A · C + B · C – A · D – B · D Binomische Formeln: (A ± B) 2 = A 2 ± 2AB + B 2, (A + B) · (A – B) = A 2 – B 2 Rechenregeln für Brüche: zB A _ B : C _ D = A _ B · D _ C = A · D _ B · C (B, C, D ≠ 0) Lineare Gleichung a · x + b = 0 (mit a ≠ 0) Lösung: x = ‒ b _ a Prozentrechnung 1% = 1 _ 100 x% von y = x _ 100 von y = x _ 100· y (1) Vermehrung um p% š Multiplikation mit (1 + p _ 100 ) (2) Verminderung um p% š Multiplikation mit (1 – p _ 100 ) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 A TERME UND FORMELN A.1 Kreuze die beiden richtigen Umformungen an! 1 _ 1 _ 1 – a = 1 – a a _ 1 _ a = 1 1 _ a _ a – 1 = 1 __ a · (a – 1) 1 _ 1 _ a – 1 = 1 _ a – 1 1 _ 1 – a _ a = a _ 1 – a A.2 Ordne jeder Gleichung aus der linken Tabelle ihre Lösung aus der rechten Tabelle zu! a) 21 – 4 x = 6 x + 6 A x = –2,5 3 x – 15 = 5 x – 10 B x = –1,5 9 – 6 x = 7 – 2 x C x = – 0,5 7x + 10 = 3 x + 4 D x = 0,5 E x = 1,5 F x = 2,5 b) 2 x + 5 = 7x + 10 A x = – 3 4 x – 9 = 7 – 4 x B x = – 2 11 – 2 x = 4 x – 7 C x = –1 8 x + 10 = 3 x – 5 D x = 1 E x = 2 F x = 3 A.3 Es sind u, v * R+. Kreuze jene beiden Gleichungen an, die zur Gleichung 2u + v _ 2 v – 1 = u + v äquivalent sind! v = 2u – v _ 2u + v 2u = 2 v 2– v + 1 __ 1 – v 2 v = 2u – v _ u + v 2u = v (2 v + 1) __ 1 – v v = 2u (1 – 2 v) __ 2 v + 1 A.4 Es sind a, b, c, d, e, f * R+. Kreuze jene beiden Gleichungen an, die zur Gleichung a = b + c – d _ e · f äquivalent sind! b = ae – c f – d f __ e c = d f + ae – be __ f d = c f – ae – be __ f e = c – d _ a – b· f f = b – a _ c – d· e A.5 Ergänze durch Ankreuzen den folgenden Text so, dass eine korrekte Aussage entsteht! Für hat die Gleichung a · x + b = c . b = 0 ? a = c nur die Lösung x = 1 c = 0 ? a = b nur die Lösung x = 0 a = b = c = 1 nur die Lösung x = –1 A.6 Die Abbildung rechts zeigt ein Trapez. Stelle eine Formel für den Flächeninhalt A dieses Trapezes auf und drücke anschließend die Seitenlänge d aus dieser Formel aus! A = d = f d g e h ÜBEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG AG-R 1 . 2 AG-R 1 . 2 AG-R 2 . 2 AG-R 2 . 2 AG-R 2 . 2 AG-R 2 .1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 A TERME UND FORMELN A.7 Eine Firma erzeugt ein Gerät in Normalausführung und in Luxusausführung. Es sei P der Preis eines Normalgeräts und Q der Preis eines Luxusgeräts. Die Firmenleitung legt fest, dass ein Luxusgerät um 50€ teurer sein soll als ein Normalgerät. Kreuze in der nebenstehende Tabelle die beiden Gleichungen an, die dies korrekt wiedergeben. Q = 50 P Q + 50 = P Q = P + 50 Q _ P= 1 _ 50 Q – P _ 50 = 1 A.8 Ein quaderförmiges Paket mit den Kantenlängen a, b und c wird auf verschiedene Arten verschnürt. Ordne jedem der beiden Pakete eine Formel für die benötigte Schnurlänge S aus der rechten Tabelle zu! b c a A S = 6a + 6b + 4 c B S = 4a + 6b + 6 c C S = 6a + 4b + 6 c D S = 4a + 8b + 4 c E S = 8a + 4b + 4 c F S = 4a + 4b + 8 c A.9 Unten findest du den Plan einer Wohnung. Ordne jedem Term in der linken Tabelle einen Teilbereich der Wohnung aus der rechten Tabelle zu, der den angegebenen Flächeninhalt hat! A Arbeitszimmer S Schlafzimmer B Bad b c d f K Küche W Wohnzimmer V Vorraum a e (a – b) · (e – d) A A + K (e – f) · b B K + W a · d – b · d + b · f C B + V + K (a – b) · e D A + S + B E S + B F W + V A.10 Gegeben ist die Abbildung aus Aufgabe A.9. Gib Formeln für die folgenden Größen an! a) Umfang des Arbeitszimmers: b) Umfang des Wohnzimmers: u A= u W= A.11 Mit A wird der Flächeninhalt, mit r 1der größere Radius und mit r 2der kleinere Radius eines Kreisrings bezeichnet. Kreuze die beiden richtigen Formeln an! r1 r2 A r 2 = � ____ A _ π+ r 1 2 r 1 = � ____ A _ π+ r 2 2 r 2 = � ____ A _ π– r 1 2 r 1 = 1 _ π · � ______ A + r 2 2 π r 2 = � _______ r 1 2 π – A __ π AG-R 2 .1 AG-R 2 .1 AG-R 2 .1 AG-R 2 .1 AG-R 2 .1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 A TERME UND FORMELN A.12 Jemand gibt von einem Geldbetrag zuerst ein Viertel aus und anschließend noch ein Fünftel des verbliebenen Geldes. Es verbleiben ihm 600€. Wie viel besaß er am Anfang? A.13 Vergrößert man eine Zahl A um 20%, so erhält man eine Zahl B. Vergrößert man B um 50%, so erhält man eine Zahl C. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! C ist um 70% größer als A. A ist um 20% kleiner als B. C ist um 50% größer als B. B ist um 50% kleiner als C. C ist um 80% größer als A. A.14 Fabian legt jeden Monat 120€ auf sein Sparbuch, das sind 8% seines Monatseinkommens. Wie hoch ist sein Monatseinkommen? A.15 In einer Gemeinde sollen x Männer und y Frauen befragt werden, wen sie sich für das Bürgermeisteramt wünschen. Ein Gemeinderat nimmt an, dass sich mindestens 45% der Männer und mindestens 55% der Frauen die Gemeinderätin Helga Müller als Bürgermeisterin wünschen. Kreuze die beiden Terme an, die die Mindestanzahl aller Wählerinnen und Wähler von Frau Müller angeben, falls diese Annahme zutrifft! 45 · x + 55 · y (0,45 + 0,55) · (x + y) 0,45 · x + 0,55 · y 100 · (0,45 · x + 0,55 · y) 45 · x + 55 · y __ 100 A.16 Eine Waschmaschine wurde um 20% teurer und kostete dann 696€. Berechne den ursprünglichen Preis der Waschmaschine! A.17 Ein Fernsehgerät wurde um 30% billiger und kostete dann 595€. Berechne den ursprünglichen Preis des Fernsehgeräts! A.18 Ein Kapital K wird vier Jahre lang mit einem effektiven Jahreszinssatz von p% verzinst und ergibt dann ein Endkapital E. Stelle eine Formel zur Berechnung von p aus K und E auf! A.19 Fachleute sagen, dass 60% aller schwerwiegenden Fahrradunfälle mit Kopfverletzungen verbunden sind, und dass 45% aller Kopfverletzungen tödlich sind. Wie viel Prozent aller schwerwiegenden Fahrradunfälle sind mit tödlichen Kopfverletzungen verbunden? Kreuze die richtige Aussage an! 15% 27% 30% 39% 54% 105% AG-R 2 .1 AG-R 2 .1 AG-R 2 .1 AG-R 2 .1 AG-R 2 .1 AG-R 2 .1 AG-R 2 .1 AG-R 2 .1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 X GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q, R verständig einsetzen können. AG-R 1 .1 ZAHLEN UND ZAHLENMENGEN B Grundwissen in Kurzform Zahlenmengen N = {0, 1, 2, 3, …} Menge der natürlichen Zahlen N* = {1, 2, 3, …} Menge der natürlichen Zahlen ohne Null Z = {…, ‒ 3, ‒ 2, ‒1, 0, 1, 2, 3, …} Menge der ganzen Zahlen Q = { z _ n | z * Z und n * N*} Menge der rationalen Zahlen R Menge der reellen Zahlen I = R\Q Menge der irrationalen Zahlen Beispiele für irrationale Zahlen: π, � __ 2 � __ nmit n * N* ist irrational, wenn n keine Quadratzahl ist Bruch- und Dezimaldarstellung reelle Zahlen rationale Zahlen irrationale Zahlen Bruchdarstellung Dezimaldarstellung endlich oder periodisch Dezimaldarstellung unendlich, nicht periodisch Darstellung auf einer Zahlengeraden Jeder reellen Zahl entspricht ein Punkt auf einer Zahlengeraden und umgekehrt. Jeder rationalen Zahl entspricht ein Punkt auf einer Zahlengeraden, aber nicht jedem Punkt einer Zahlengeraden entspricht eine rationale Zahl. Zehnerpotenzen 10 n= 10 · 10 ·…· 10 n Faktoren 10 ‒n = 1 _ 10 n 10 0= 1 (n * N) 10 n(mit n * Z) heißt Potenz mit der Basis 10 (kurz Zehnerpotenz). Gleitkommadarstellung m · 10 k mit m * Q, k * Z, 1 ª m < 10 Gleitkommadarstellung: 6,4371 · 102 Festkommadarstellung: 643,71 Mantisse Zehnerpotenz N Z Q R N ² Z ² Q ² R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv
8 B ZAHLEN UND ZAHLENMENGEN Verknüpfungen von Mengen Es seien A und B Teilmengen einer „Grundmenge“ G. A ° B = {x * G ‡ x * A ? x * B} heißt Durchschnitt von A und B. A ± B = {x * G ‡ x * A = x * B} heißt Vereinigung von A und B. A\B = {x * G ‡ x * A ? x + B} heißt Differenz von A und B. Veranschaulichung durch Mengendiagramme A B G Durchschnitt von A und B A B G Vereinigung von A und B A B G Differenz von A und B B.1 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Zahl � ___ 250 ist eine natürliche Zahl. Die Zahl 5 ist eine rationale Zahl. Die Zahl 5 _ 2 ist eine ganze Zahl. Die Zahl 0,04 ̇ ist eine irrationale Zahl. Die Zahl 0 ist eine reelle Zahl. B.2 Ordne jeder Zahl der linken Tabelle die „kleinste“ Menge aus der rechten Tabelle zu, in der die jeweilige Zahl liegt! a) – 15 _ 3 A N 10 _ 2 B Z � __ 2 _ 2 C Q D R b) 1,53 · π A N 0 B Z 1 _ 2 · � __ 9 C Q D R B.3 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Menge der positiven ganzen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. Die Menge der negativen rationalen Zahlen ist keine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen. Die Menge der irrationalen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der positiven reellen Zahlen. Die Menge der negativen ganzen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der positiven rationalen Zahlen. B.4 a) G ib drei Beispiele für Zahlen an, die in Q, aber nicht in N liegen! b) G ib drei Beispiele für Zahlen an, die in R*, aber nicht in Q liegen! ÜBEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 B ZAHLEN UND ZAHLENMENGEN B.5 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Zahl � __ 2ist ein Element der Menge Q, aber nicht der Menge R. Die Zahl 0 ist ein Element der Menge Z, aber nicht der Menge N. Die Zahl 3 � __ 27ist kein Element der Menge Z. Die Zahl – 0,5 ist sowohl ein Element der Menge Q als auch der Menge R. Die Zahl 6 π ist kein Element der Menge Q, aber ein Element der Menge R. B.6 Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Aussagen an! a) W elche dieser Zahlen sind Elemente der Menge Q+? 5 4,8 · 10 – 2 3 · π 10 · � __ 10 (– 3 _ 2 ) 3 b) W elche dieser Zahlen sind Elemente der Menge Q \ N? –1 1,5 · 10 3 0 0, ‾ 11 3 · � __ 3 c) W elche dieser Zahlen sind irrational? � ___ 144 0,12 ‾ 456 � __ 8 1,432 3 � __ 9 B.7 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Jede natürliche Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Jede reelle Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Jede rationale Zahl kann als Dezimalzahl dargestellt werden. Jede Bruchzahl kann in eine endliche Dezimalzahl umgewandelt werden. Jede Dezimalzahl kann in eine Bruchzahl umgewandelt werden. B.8 a) Gib fünf rationale Zahlen an, die zwischen 6 _ 5 und 7 _ 5liegen! b) Gib fünf irrationale Zahlen an, die zwischen 0 und 1 liegen! B.9 Gib fünf Bruchzahlen an, die zwischen 0 und 1 liegen und eine endliche Dezimaldarstellung besitzen! B.10 Gib fünf Bruchzahlen an, die zwischen 1 und 2 liegen und eine periodische Dezimaldarstellung besitzen! B.11 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Alle Zahlen in Q besitzen eine endliche Dezimaldarstellung, alle Zahlen in I eine unendliche Dezimaldarstellung. Alle Zahlen der Menge {a · 10– k | a, k * N} liegen in Q+. Die Zahl 1 _ 53 besitzt eine endliche Dezimaldarstellung. Im Intervall (0; 1) gibt es unendlich viele Zahlen in I. Im Intervall (0; 1) gibt es unendlich viele Zahlen in Q. AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 B ZAHLEN UND ZAHLENMENGEN B.12 Kreuze jeweils jene beiden Zahlenmengen an, in denen die gegebene Rechenoperation unbeschränkt ausführbar ist! a) Subtraktion b) Multiplikation c) Division N N* N* Z Q \ Z Z – Q* Q* Q* (–1; 1) (0; 2) (0; 1) R Q– Q+ B.13 Ordne jeder Zahlenmenge der linken Tabelle die entsprechende Menge der rechten Tabelle zu! a) R ± Z A N Z ° Q* B Z Z* ± N C Q Q* ° R D R E Z* F Q* b) Q ± Z A N Z + ± Z – B Z Q ° R* C Q Z ° Q D R E Z* F Q* B.14 Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Aussagen an! a) Q* ± Q– = Q Q ° N = Z + R+ ± R– = R Z ° R = Z Q+ ° Q– = { } b) Z ° N = Z + Q ± R = Q Q* ° N = N Q* ± N = Q N ° Z –= { } c) R \ R+ = R– Z \ N = Z – Q \ Q* = { } R \ Z = Q Q*\ Q– = Q+ B.15 Stelle die gegebenen Mengen A, B und C auf der Zahlengeraden dar! a) A = {x * R | – 5 ª x ª –2} b) B = {x * R | 4 < x ª 6} c) C = {x * R | 0 < x < 1} –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 B.16 Gegeben ist die Menge M = {x * N | |x + 2| < 6}. Stelle M auf der Zahlengeraden dar! –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 B.17 Gegeben ist die Menge M = {x * R | |x – 1| < 3}. Stelle M auf der Zahlengeraden dar! –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 B.18 Gegeben sind zwei Mengen A = {x * Z | –4 < x ª 8} und B = {x * N | x > 2}. Gib die Menge A ° B sowohl durch Aufzählen der Elemente als auch durch Beschreiben der Elemente an! A ° B = AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 B ZAHLEN UND ZAHLENMENGEN B.19 Gegeben sind zwei Mengen A = {x * Z | –3 < x ª 6} und B = {x * N | x º 4}. Gib die Menge A\B sowohl durch Aufzählen der Elemente als auch durch Beschreiben der Elemente an! A \B = B.20 Gegeben sind zwei Mengen A = {x * R | –9 ª x < 4} und B = {x * R | 2 ª x < 20}. Gib die Mengen A ± B und B\ A in Intervallschreibweise an! A ± B = B\ A = B.21 Gegeben sind zwei Mengen A = {x * R | |x + 2| < 7} und B = {x * R | |x – 1| ª 5} Gib die Mengen A ° B und A \B in Intervallschreibweise an! A ° B = A \B = B.22 Gegeben sind zwei Mengen A und B. Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Aussagen an! a) A = {x * R | 4 ª x < 8], B = {x * R+ | x ª 5] b) A = {x * R+ | |x – 4| º 2], B = {x * R | |x + 1| ª 7] A = {4, 5, 6, 7} A = [6; ∞) B = {1, 2, 3, 4, 5} B = [– 8; 6] A ° B = [4; 5] A ° B = (0; 2] A ± B = [0; 8) A ± B = R B\ A = (0; 4) B\ A = [– 8; 0) B.23 Schreibe die folgenden Zahlen in Gleitkommadarstellung an! 3472600000 = 0,000018407 = B.24 Schreibe die folgenden Zahlen ohne Verwendung von Zehnerpotenzen an! 0,004085 · 1010 = 51,8 · 10– 8 = B.25 Ordne jedem Größenwert der linken Tabelle den entsprechenden Größenwert aus der rechten Tabelle zu! 2ha A 2 · 106 m2 2 km2 B 2 · 105 m2 2dm2 C 2 · 104 m2 2 cm2 D 2 · 10– 2 m2 E 2 · 10– 3 m2 F 2 · 10– 4 m2 B.26 Gegeben sind verschiedene Aussagen über Größen. Kreuze jeweils die beiden wahren Aussagen an! a) 19 · 106 > 19 Millionen 1,8 · 1012 > 18 Billionen 1 Million > 105 21 Billionen > 2,1 · 1012 3,1 · 106 > 3,1 Milliarden b) 32 cm = 3,2 · 10– 4 km 32mm2 = 3,2 · 10–12 km2 32mg = 3,2 · 10– 8 t 32mm3 = 3,2 · 10–10 m3 32ml = 3,2 · 10– 3 L AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 AG-R 1 .1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 X QUADRATISCHE GLEICHUNGEN C GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen können, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können. AG-R 2 . 3 Grundwissen in Kurzform Kleine Lösungsformel x 2+ px + q = 0 É x = ‒ p _ 2 ± � _______ ( p _ 2 ) 2 – q BEISPIEL x 2– 2x – 3 = 0 x = 1 ± � ____ 1 + 3= 1 ± 2 x = ‒1 = x = 3 (bzw. x 1= ‒1 ? x 2= 3) Große Lösungsformel a x 2+ bx + c = 0 É x = ‒b ± � _______ b 2– 4a c ___ 2a (a ≠ 0) BEISPIEL 2 x 2+ 7x – 4 = 0 x = ‒7 ± � ___________ 49 – 4 · 2 · (‒ 4) ____ 4 = – 7 ± � __ 81 __ 4 = ‒7 ± 9 _ 4 x = 1 _ 2 = x = ‒ 4 (bzw. x 1 = 1 _ 2 ? x 2= ‒ 4) Diskriminante Die Zahl D = ( p _ 2 ) 2 – q bzw. D = b 2– 4a c heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung. quadratische Gleichung D > 0 D = 0 D < 0 zwei reelle Lösungen genau eine reelle Lösung keine reelle Lösung Sonderfälle (ohne Formel lösbar) (1) Koeffizient von x und konstantes Glied = 0 BEISPIEL 7 x 2= 0 É x 2= 0 É x = 0 (2) Koeffizient von x = 0 BEISPIEL 2 x 2– 8 = 0 É x 2= 4 É x = 2 = x = ‒2 (3) Konstantes Glied = 0 BEISPIEL x 2– 8x = 0 É x · (x – 8) = 0 É x = 0 = x = 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 C QUADRATISCHE GLEICHUNGEN C.1 Ein Ball wird von einem Balkon in drei Meter Höhe lotrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat er die Höhe h (t) = 3 + 30 t – 5 t2 erreicht (t in Sekunden, h in Meter). Nach wie vielen Sekunden befindet sich der Ball wieder auf Abschusshöhe? C.2 Ein Versorgungsflugzeug fliegt mit 200 km/h in einer Höhe von 500m über ein ebenes Krisengebiet um ein Hilfspaket abzuwerfen. Der Abwurf erfolgt über dem Punkt F auf dem Boden. Die Gleichung h (x) = – 0,000125 x2 + 500 beschreibt die Höhe h (in Meter) des Pakets bei der Entfernung x von F (in Meter). Wie weit von F entfernt kommt das Paket am Boden auf? C.3 Gegeben ist die quadratische Gleichung 4 x2 – 11 x + 6 = 0. Ermittle die die reellen Lösungen der Gleichung! C.4 Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form a x2 + b x + c = 0 mit a, b, c * R und a ≠ 0. Gib ein konkretes Beispiel für a, b und c an, so dass die Gleichung keine reellen Lösungen hat! a = , b = , c = C.5 Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form x2 + p x + q = 0 mit p, q * R. Ergänze die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht! Wenn ist, dann hat die quadratische Gleichung . q > 0 höchstens eine reelle Lösung p = 0 zwei reelle Lösungen q < 0 genau eine reelle Lösung C.6 Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Gleichungen an! a) W elche dieser quadratischen Gleichungen haben zwei natürliche Zahlen als Lösung? x2 – 9 = 0 x2 + 9 x = 0 16 + x2 = 0 x2 – 25 x = 0 x2 – 10 x + 9 = 0 b) W elche dieser quadratischen Gleichungen haben zwei ganzzahlige Lösungen? x2 – 8 x + 7 = 0 x2 + 6 x – 8 = 0 x2 – 7x + 12 = 0 x2 – 9 x + 10 = 0 x2 + 10 x – 9 = 0 C.7 a) G egeben ist die Gleichung (x + 4)2 = u. Gib jene Werte u an, für die die Gleichung zwei reelle Lösungen besitzt! b) G egeben ist die Gleichung x2 + v x + 9 = 0. Gib jene Werte v an, für die die Gleichung genau eine reelle Lösung besitzt! ÜBEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 C QUADRATISCHE GLEICHUNGEN C.8 a) G egeben ist die Gleichung x2 + 4 x + a = 0. Gib jene Werte a an, für die die Gleichung genau eine reelle Lösung besitzt! b) G egeben ist die Gleichung x2 – 2 k x + k = 0. Gib jene Werte k an, für die die Gleichung keine reelle Lösung besitzt! C.9 a) G egeben ist die Gleichung x2 + 2 k x + 3 k = 0 Gib jene Werte k an, für die die Gleichung genau eine reelle Lösung besitzt! b) G egeben ist die Gleichung x2 – (k + 3) x + 4 = 0 Gib jene Werte k an, für die die Gleichung keine reelle Lösung besitzt! C.10 Quadratische Gleichungen können zwei reelle Zahlen, genau eine reelle Zahl oder keine reelle Zahl als Lösung haben. Ordne jeder Lösungsmenge L in der linken Tabelle eine quadratische Gleichung aus der rechten Tabelle zu, die diese Lösungsmenge hat! L = { } A x2 – 3 = 0 L = {3} B (x + 3)2 = 0 L = {–3} C x2 + 3 = 0 L = {– 3; 3} D (x – 3)2 = 0 E x (x + 3) = 0 F (x + 3) (x – 3) = 0 C.11 Gegeben ist eine Gleichung der Form a x2 + b x + c = 0 mit a, b, c * R und a ≠ 0. Die Gleichung hat genau eine Lösung. Kreuze die zutreffende Aussage in der nebenstehenden Tabelle an! b ≠ 0 b 2 _ 4 = c – b _ 2a ≠ 0 b2 – c > 0 b2 = 4a c b2 = c C.12 Gegeben ist eine Gleichung der Form a x2 + c = 0 mit a, c * R. Für welche a, c * R hat die Gleichung keine reellen Lösungen? Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! a > 0 ? c < 0 a < 0 ? c < 0 a > 0 ? c = 0 a > 0 ? c > 0 a = c = 0 C.13 Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form c x2 – b x – a = 0 mit c ≠ 0 und a, b, c * R. Welche dieser Terme geben die Lösungen der Gleichung an? Kreuze die beiden zutreffenden Terme an! –b ± � _______ b 2 – 4a c ___ 2a b ± � _______ b 2 + 4a c __ 2 c b _ 2a ± � _______ b 2 _ 4a2+ 4a c b _ 2 c ± � _____ b 2 _ 4 c2 + a _ c –b ± � _______ b 2 – 4a c ___ 2 c AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 C QUADRATISCHE GLEICHUNGEN C.14 Ordne jeder quadratischen Gleichung der linken Tabelle eine äquivalente Gleichung aus der rechten Tabelle zu! x2 + x – 2 = 0 A (x – 1) (x – 2) = 0 x2 – 3 x + 2 = 0 B (x – 3) x = 2 x2 + 2 x – 1 = 0 C x (x + 1) = 2 x2 – 2 x – 4 = 0 D (x – 2) (x + 1) = 0 E x (x + 3) = x + 1 F (x + 1) (x – 3) = 1 C.15 Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form a x2 + b x + c = 0 mit a, b, c * R und a ≠ 0. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Jede quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen. Es gibt quadratische Gleichungen, die nur eine reelle Lösung haben. Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei ganzzahlige Lösungen. Wenn die Diskriminante b2 – 4a c ganzzahlig ist, dann hat die Gleichung zwei reelle Lösungen. Wenn die Diskriminante b2 – 4a c gleich 0 ist, dann hat die Gleichung keine reelle Lösung. C.16 Gegeben ist die quadratische Gleichung der Form 2 x2 + 2 x + c = 0 (mit c * R). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Gleichung hat immer zwei reelle Lösungen, egal welchen Wert c annimmt. Wenn c = 2 ist, dann hat die Gleichung genau eine reelle Lösung. Wenn c einen negativen Wert annimmt, dann hat die Gleichung zwei reelle Lösungen. Wenn c = 0 ist, dann ist 0 eine Lösung der Gleichung. Wenn c größer als 0 ist, dann hat die Gleichung keine reelle Lösung. C.17 Gegeben ist die quadratische Gleichung der Form 4 x2 + p x + 1 = 0 (mit p * R). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Gleichung hat immer eine reelle Lösung, egal welchen Wert p annimmt. Wenn p einen positiven Wert annimmt, dann hat die Gleichung zwei reelle Lösungen. Wenn p = –5 ist, dann hat die Gleichung zwei rationale Lösungen. Wenn p = –3 ist, dann hat die Gleichung zwei rationale Lösungen. Wenn p = 4 ist, dann hat die Gleichung genau eine reelle Lösung. C.18 Gegeben ist die quadratische Gleichung der Form r x2 – 6 x + 1 = 0 (mit r * R, r ≠ 0). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Gleichung hat immer eine reelle Lösung, egal welchen Wert r annimmt. Die Gleichung hat nie eine reelle Lösung, egal welchen Wert r annimmt. Wenn r = 9 ist, dann hat die Gleichung genau eine reelle Lösung. Wenn r = 5 _ 4, dann sind die Lösungen rationale Zahlen. Es gibt ein r * R mit r ≠ 0, so dass die Gleichung keine reelle Lösung hat. AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 AG-R 2 . 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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