6GRUNDKOMPETENZTRAINING Mathematik verstehen KOTH | DORNER
Mathematik verstehen Grundkompetenztraining 6, Arbeitsheft Schulbuchnummer 190238 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 31. August 2023, GZ 2023-0.440.1661, gemäß §14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 6. Klassen an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2018) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig; imprint Ilona Külen, Zusmarshausen Bildnachweis: S. 67: Alekss / Fotolia 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2024 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Karin Drucks, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung und Layout: normaldesign, Schwäbisch Gmünd Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-12370-1 (Mathematik verstehen OS GK-Training AH 6) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik verstehen 6 GRUNDKOMPETENZTRAINING für die Reifeprüfung Hochschulprofessorin Mag. Dr. Maria Koth Hochschulprofessor Mag. Dr. Christian Dorner, BSc www.oebv.at KOTH | DORNER Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 INHALTSVERZEICHNIS TYP 1 – AUFGABEN A Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 3 B Ungleichungen 9 C Reelle Funktionen 12 D Exponentialfunktionen 19 E Winkelfunktionen 25 F Ergänzungen zu Funktionen 29 G Vektoren im R 3 34 H Geraden im R 3 38 I Vektoren im R n 41 J Beschreibende Statistik 43 K Wahrscheinlichkeiten 50 L Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 54 TYP 2 – AUFGABEN 59 LÖSUNGEN 70 I. II. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können. Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q, R verständig einsetzen können. AG-R 2.1 AG-R 1.1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN A Grundwissen in Kurzform Potenzen Ein Ausdruck der Form a r heißt Potenz, a heißt Basis und r heißt Hochzahl (Exponent). (1) a n = a · a · … · a n Faktoren (a * R, n * N*) (2) a 0 = 1 (a * R*) (3) a – n = 1 _ a n (a * R*, n * N*) (4) a m _ n = n � _ a m (a * R+, m * Z, n * N*) (5) a – m _ n = 1 _ n � _ a m (a * R+, m * Z, n * N*) Wichtige Spezialfälle: a 1 = a, a – 1 = 1 _ a , 1 _ a – n = a n Wurzeln Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man jene nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist (a * R 0 +, n * N*) Symbolisch: n � _ a = x É x n = a ? x º 0 Für n = 2 stimmt diese Definition mit der Definition der Quadratwurzel überein. Statt 2 � _ a schreibt man jedoch meist nur � _ a . Für n = 1 ergibt sich 1 � _ a = a. Rechenregeln für Potenzen Sofern die Potenzen definiert sind, gilt: Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis: ( 1) a r · a s = a r + s (2) a r _ a s = a r – s (für a ≠ 0) Potenzieren einer Potenz: (3) (a r) s = a r · s Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Hochzahl: ( 4) (a · b) r = a r · b r (5) ( a _ b ) r = a r _ b r (für b ≠ 0) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 A TERME UND FORMELN Rechenregeln für Wurzeln Für alle a, b * R 0 +, für alle m, n * N* und alle k * Z gilt: (1) ( n � _ a ) n = a (4) n � _ a _ b = n � _ a _ n � _ b (für b ≠ 0) (2) ( n � _ a ) k = n � _ a k (5) m � _ n � _ a = m · n � _ a (3) n � _ a · b = n � _ a · n � _ b (6) m · n � _ a m · k = n � _ a k Logarithmen Seien a, b * R+ und a ≠ 1. Die Hochzahl, mit der man die Zahl a potenzieren muss, um die Zahl b zu erhalten, heißt Logarithmus von b zur Basis a und wird mit log a b bezeichnet. Man bezeichnet a als Basis und b als Numerus [lat. Zahl]. Basis Logarithmus = Numerus bzw. a log a b = b bzw. log a b = x É a x = b Der gebräuchlichste Logarithmus ist der zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus). Dieser wird mit log 10 b oder kurz log b bezeichnet. Oft wird jedoch die Euler’sche Zahl e als Basis genommen. Die Zahl e ist irrational und es ist e ≈ 2,718281828. Die Zahl log e x heißt natürlicher Logarithmus von x und wird mit ln x bezeichnet („logarithmus naturalis von x“). Rechenregeln für Logarithmen Für alle a, b * R+ mit a, b ≠ 1 und alle x, y * R+ gilt: (1) loga (x · y) = loga x + loga y (4) logb x = loga x · logb a (2) loga ( x _ y ) = loga x– loga y (5) log 1 _ a x = – loga x (3) loga (x y) = y · log a x A.1 Welche dieser Aussagen sind für alle a * R* richtig? Kreuze jeweils die beiden richtigen Aussagen an! a) a 2 · a 2 = a 4 b) (2 · a 4) 3 = 6 · a 12 (a 3) 5 = a 15 (a 6 · b 2) 3 = a 9 · b 5 a 3 : a 3 = 0 (a 5 · b 6) 4 = a 20 · b 24 a 4 · a 2 = a 8 (3 · a · b 2) 4 = 81 · a 4 · b 8 (a 3 · a 2) 2 = a 12 (4 · a 5 · b 3) 2 = 8 · a 10 · b 6 A.2 Welche dieser Aussagen sind für alle a * R* richtig? Kreuze jeweils die beiden richtigen Aussagen an! a) a – 2 · a 2 = a – 4 b) a 5 – a 3 = a 2 a – 2 + a 2 = a 0 a 3 · a 3 = a 6 a 6 – a 4 = a 2 a 5 : a – 3 = a 2 a – 3 · a 5 = a 2 a 5 + a 3 = a 8 a 6 : a – 2 = a 8 a 3 : a – 5 = a 8 A.3 Zeige, dass ( a – 2 b – 3 _ b – 4 a – 3 ) 3 = a³ b³ ist! ÜBEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 A TERME UND FORMELN A.4 Zeige, dass (a 2 + b 2) – 2 __ (a 4 – b 4) – 2 = (a + b)2 (a – b)2 ist! A.5 Welche Aussagen sind richtig? Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Potenzen mit gleicher Basis werden addiert, indem man die Basis unverändert lässt und die Exponenten addiert. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis unverändert lässt und die Exponenten miteinander multipliziert. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis unverändert lässt und die Exponenten addiert. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen miteinander multipliziert und den Exponenten unverändert lässt. Eine Potenz wird potenziert, indem man die Basis unverändert lässt und die Exponenten addiert. A.6 a) Kreuze jene beiden Ausdrücke an, die in R definiert sind! 0 0 3 – 0,75 � _ – 1 � _ – 1 2 3 � _ (– 1) 2 b) K reuze jene beiden Zahlen an, die kleiner als 0 sind! (– 2) 8 736 (– 5) 4 299 � _(– 2) 7 300 (– 5) 241 · (– 5) 241 – 2 3 488 _ 2 3 487 A.7 Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Ausdrücke an! a) Wie kann 4 � _ 32 b) Wie kann 3 � _ 36 c) Wie kann 3 � _ 256 noch dargestellt werden? noch dargestellt werden? noch dargestellt werden? � _ 8 _ 4 � _ 2 2 · 3 � _ 9 _ 4 16 _ 3 � _ 16 2 · 4 � _ 4 6 · 3 � _ 6 4 · 3 � _ 2 � _ 2 · 3 � _ 2 · 4 � _ 2 · 6 � _ 2 3 � _ 4 · 3 � _ 9 2 · 3 � _ 16 · 4 � _ 4 4 · � _ 2 3 � _ 6 · 4 � _ 6 · 12 � _ 6 3 � _ 2 · 3 � _ 8 · 3 � _ 16 4 _ 4 � _ 4 6 _ 3 � _ 3 8 _ 3 � _ 4 A.8 Es sei a * R+. Ordne jedem Term der linken Tabelle einen äquivalenten Term aus der rechten Tabelle zu! a – 3 _ 2 A 3 � _ (– a) 2 a 3 _ 2 B – � _ a 3 a – 2 _ 3 C 1 _ a · � _ a a 2 _ 3 D – 6 � _ a 4 E a 2 _ � _ a F a – 1 · 3 � _ a A.9 Stelle den Term mit einer einzigen Wurzel dar! � ________ a · 3 � _____ a 2 · � __ a = AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 A TERME UND FORMELN A.10 Kreuze jeweils die beiden richtigen Zahlen an! a) Welche dieser Zahlen sind b) Welche dieser Zahlen sind c) Welche dieser Zahlen Elemente der Menge N? Elemente der Menge Q? sind irrational? 3 � _ 64 _ 3 � _ 4 3 � _ _27 3 � _ 3 � _ 3 _ � 27 (– 6 � _ 8 ) 4 (– 4 � _ 9 ) 6 (– 4 � _ 8 ) 6 � _ 90 _ � 40 � _ 80 _ � 45 � _ 24 _ � 54 5 � _ 32 – 3 � _ 27 3 � _ 0,08 3 � _ 24 – 3 � _ 3 3 � _ 9 · ( 3 � _ 24 – 3 � _ 3 ) � _ 250 � _ 8 · 4 � _ 324 A.11 Welche dieser Aussagen sind für alle a, b * R+ und alle m, n * N* richtig? Kreuze jeweils die beiden richtigen Aussagen an! a) n � _a+b= n � _ a + n � _ b b) (a m · b m) n _ m = (a · b) n a m _ n · a n _ m = a (a + b) m _ n = n � _a m + b m n � _a n · b = a · n � _ b n � _a m _ n · b m _ n = (a · b) m � _ a m + n _ a n – m = a m n � _a – 3 n · b n _ m = m � _ b n _ a 3 a 2 _ n · a 4 _ n _ a 1 _ n = ( n � _ a ) 6 a 2 m _ n · b m _ 3 n = ( 3 n � _ a 6 · b ) m A.12 a) O rdne jedem Term in der linken Tabelle die Basis a des Logarithmus aus der rechten Tabelle zu! loga 64 = 2 A 2 loga 64 = 3 B 4 loga 64 = 6 C 8 loga 1 _ 64 = 3 D 1 _ 2 E 1 _ 4 F 1 _ 8 b) O rdne jedem Term in der linken Tabelle den Numerus b aus der rechten Tabelle zu! log8 b = 1 _ 9 A � _ 2 log4 b = – 1 _ 4 B 3 � _ 2 log2 b = – 3 _ 2 C 3 � _ 4 log 1 _ 2 b = – 2 _ 3 D � _ 8 E 1 _ � _ 2 F 1 _ � _ 8 A.13 Drücke als Term eines einzigen Logarithmus aus! 3 · loga x + 1 _ 2 · loga y – 2 · loga z = A.14 Sei a * R+ \ {1}. Ordne jedem Term der linken Tabelle einen äquivalenten Ausdruck aus der rechten Tabelle zu! AG-R 1.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 loga a – loga 1 _ a 2 A – 2 loga 1 _ a + loga a 3 B – 1 log 1 _ a a 2 – log a 1 _ a C 0 loga � _ a+ log 1 _ a 1 _ � _ a D 1 E 2 F 3 AG-R 2.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 A TERME UND FORMELN A.15 Kreuze jeweils die beiden falschen Aussagen an! a) log3 12 – log3 6 = log3 2 b) 2 3 x– 1 = 8 É x = 4 _ 3 log3 8 = 2·log3 4 3 2 x– 4 = 8 É x = 2 + 3 _ 2 · log3 2 log2 2 + log2 8 = 2·log2 4 4 x + 2 = 20 É x = 1 + log 4 5 log2 4 + log4 2 = 2,5 e 2 x + 1 = 1 _ 2 · e x É x=1–ln2 (log4 4) 2 = log 4 4 2 e 3 x = 2 · e x É x = ln � _ 2 A.16 Seien a, b, c * R+\{1} und x * R. Ordne jedem Term der linken Tabelle den äquivalenten Term aus der rechten Tabelle zu! a) a = logc b A a b = c b) b = logc a A a b = c b = loga c B a c = b a = c � _ b B a c = b c = b � _ a C ba = c c = a � _ b C ba = c c = 1 _ logb a D bc = a a = 1 _ logc b D bc = a E ca = b E ca = b F cb = a F cb = a A.17 Drücke x aus der folgenden Formel aus! a) A = B·(1 – e – C · x) b) A = B _ 1 + C · 2x x = x = A.18 Gegeben ist die Menge M = {x * Z ‡ x < 1 000}. a) Für welche x * M ist log3 x * Z? b) Für welche x * M ist log2 � _ x * Z? A.19 Welche dieser Aussagen sind richtig? Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Für alle a * R+ und x * Q gilt: ax > 0 Für alle a * R+ und x, y * Q gilt: ax = ay w x = y Für alle a, b * R+ und x * Q+ gilt: ax = bx w a = b Für alle a * R+\{1} und alle x * Q+ gilt: log a x > 0 Für alle a, b * R+\{1} und alle x * Q+ gilt: log a x = logb x w a = b A.20 Welche dieser Aussagen sind falsch? Kreuze die beiden falschen Aussagen an! Für alle a, b, c * R+ gilt: lna – lnb = lnc w a = b · c Für alle a, b * R+ und alle n * N gilt: ln an = ln bn w a = b Für alle a, b, c * R+ gilt: ln (a · c) = ln (b · c) w a = b Für alle a, b * R+ gilt: lna+lnb=0 w a · b = 1 Für alle a, b * R+ gilt: ln a > 2 · ln b w a > 2 · b AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 1.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 A TERME UND FORMELN A.21 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Für jedes a * N* und jedes n * Z ist an * Z. Für jedes a * Z* und jedes n * N ist an * Z. Für jedes a * N* und jedes n * Q ist an * Z. Für jedes a * N* und jedes n * Q ist an * Q. Für jedes a * N* und jedes n * N ist an * N. A.22 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Für alle a * R+ mit a ≠ 1 ist log a � _ a * Z. Für alle a * R+ mit a ≠ 1 ist log a (a 2 + 1) * Z. Für alle a * R+ mit a ≠ 1 ist log a 1 _ a 2 * Z. Für alle a * R+ mit a ≠ 1 ist log a (2 a 2) * Z. Für alle a * R+ mit a ≠ 1 ist log a a 3 + log a 1 _ a 3 * Z. A.23 Gegeben ist die Menge M = {x * Q ‡ � _ 2ªx<� _ 3}. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Menge M enthält keine Zahlen aus der Menge Z. Es gibt unendlich viele Zahlen in der Menge M, die größer als 1,732 sind. Die Menge M hat ein kleinstes Element, aber kein größtes Element. Die Menge M enthält die Zahl 1,414, aber nicht die Zahl 1,732. Die Menge M enthält unendlich viele irrationale Zahlen. A.24 Gegeben ist die Menge M = {x * Z | x > 1 _ � _ 2 }. Kreuze die beiden falschen Aussagen an! Die Menge M hat kein kleinstes Element. Die Menge M hat kein größtes Element. Alle Elemente von M können in der Form a _ b geschrieben werden, wobei a und b positive ganze Zahlen sind. Die Menge M enthält unendlich viele Zahlen aus der Menge Q. Die Menge M enthält unendlich viele irrationale Zahlen. A.25 Kreuze jeweils die beiden richtigen Zahlen an! a) Welche dieser Zahlen sind b) Welche dieser Zahlen sind c) Welche dieser Zahlen Elemente der Menge N? Elemente der Menge Q? sind irrational? 8 2 _ 3 – 9 5 _ 2 8 3 _ 2 · 8 2 _ 3 9 7 _ 3 · 9 – 1 _ 3 3 � _ 27 _ 8 3 � _ 81 _ 64 1 _ 3 � _ 27 log4 8 _ log4 2 log4 9 _ log4 27 log2 � _ 10 _ log2 10 ln e log 3 6 log 4 8 ln 1 _ e ln � _ e � ____ ln e 2 AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen können, Lösungen (auch geometrisch) deuten können. AG-R 2.4 UNGLEICHUNGEN B Grundwissen in Kurzform Elementarumformungsregeln für Ungleichungen Für alle reellen Zahlen A, B, C gilt: (1) A + B < C É A < C – B Additive Elementarumformungsregel (2 a) A·B < C É A < C _ B (wenn B > 0) (2 b) A·B < C É A > C _ B (wenn B < 0) Diese Äquivalenzen gelten auch, wenn man < und > durch ª bzw. º ersetzt. Sie gelten ebenfalls, wenn alle Ungleichheitszeichen umgedreht werden. Monotonieregeln für Ungleichungen Für alle reellen Zahlen A, B, C gilt: (1) A < B É A + C < B + C (2) A < B É A – C < B – C (3 a) A < B É A·C<B·C (wennC>0) (3 b) A < B É A·C>B·C (wennC<0) (4 a) A < B É A _ C < B _ C (wenn C > 0) (4 b) A < B É A _ C > B _ C (wenn C < 0) Diese Regeln gelten auch, wenn man < durch ª und > durch º ersetzt. MERKE Wird bei einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, dann muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen. B.1 Ordne jeder Ungleichung in der linken Tabelle ihre Lösungsmenge über der Grundmenge R aus der rechten Tabelle zu! 5 – 2 + x _ 3 > x–1 A (– 1; •) x – 5 _ 3 < x _ 2 – 1 B (– •; – 1) 3 x + 5 _ 8 – 5 – x _ 6 < 3 x _ 4 C (– 4; •) 4 x – 5 _ 6 – 5 x – 2 _ 2 > 2 – 7 x _ 4 D (– •; – 4) E (4; •) F (– •; 4) Multiplikative Elementarumformungsregeln ÜBEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG AG-R 2.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 B UNGLEICHUNGEN B.2 Löse die folgenden Ungleichungen über der Grundmenge R und stelle die Lösungsmenge auf der Zahlengeraden dar! a) 6 – 3 x _ 4 º x + 5 b) –8–3x ª 2 – 3 x _ 2 ª 3–2x B.3 Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Ungleichungsketten an! a) Welche dieser Ungleichungsketten b) Welche dieser Ungleichungsketten haben über der Grundmenge R haben keine Lösungen über der die Lösungsmenge L = (– 8; – 3)? Grundmenge N? 3x+1 < 2x–2 < 2x+6 3x–1 < 6x+2 < 4x+1 2x+5 > x – 11 _ 2 > 2x–1 2x+1 º 5 x + 2 _ 2 º x – 2 x + 3 _ 3 > 2x+6 > x – 12 _ 2 2 x + 3 _ 5 < 6 x – 1 _ 4 < 4 x + 1 _ 3 x – 5 _ 4 > 2 x – 4 _ 5 > 2 x – 8 _ 6 3 x + 1 _ 2 < 4 x – 2 _ 4 < 2 x + 3 _ 6 3 x + 1 _ 2 < 4 x – 2 _ 3 < 5 x + 8 _ 6 5 x + 1 _ 4 º 3 x – 2 _ 6 º 2 x + 3 _ 8 B.4 Kreuze jeweils jene beiden Zahlenpaare an, die keine Lösungen der gegebenen Ungleichung sind! a) 2 – 5 x _ 3 > –2y (– 1 1 – 2) b) –8–2x ª 3 y – 10 _ 2 ª 1–2x (2 1 – 4) (– 1 1 1) (4 1 – 2) (1 1 – 1) (– 2 1 4) (– 1 1 – 1) (– 4| 2) (1 1 1) (– 1 1 – 1) B.5 In der Abbildung ist die Lösungsmenge einer Ungleichung durch eine Halbebene grün gefärbt. (Die Punkte auf der Begrenzungsgeraden gehören zur Halbebene.) Kreuze jene Ungleichung an, die für alle Punkte (x 1 y) der Halbebene zutrifft! x y 1 2 2 3 1 –1 –2 –1 –6 –5 –4 –3 –2 O 3x–2yª6 2x–3yª–6 3x+2yª6 2x+3yº–6 –3x+2yº6 –2x+3yº–6 B.6 In Olivers Federpennal befinden sich B Bleistifte, F Filzstifte und K Kugelschreiber. Kreuze jene Formel an, die besagt, dass es a) um mindestens drei Bleistifte mehr als Kugelschreiber sind! 3B º K b) mehr als dreimal so viele Filzstifte wie Bleistifte sind! 3F > B 3K º B 3B > F B º K + 3 B > 3F B + 3 º K F > 3B B – K ª 3 F > 3 + B K – B º 3 B < F – 3 AG-R 2.4 –7–6–5–4–3–2–1 0 1 2 3 4 5 6 7 –7–6–5–4–3–2–1 0 1 2 3 4 5 6 7 AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 B UNGLEICHUNGEN B.7 Für welche x * R gilt die Ungleichung? Unterscheide Fälle für den Parameter a! ax + 3 _ 2 –2x<5 B.8 Ordne jeder Ungleichung in der linken Tabelle ihre Lösungsmenge über der Grundmenge R aus der rechten Tabelle zu! x – 2 _ x + 1 < 0 A (– 2; – 1) 1 – x _ x – 2 > 0 B (– 2; 1) x – 1 _ x + 2 > 0 C (1; 2) x + 2 _ x + 1 < 0 D (– 1; 2) E (– •; – 2) ± (1; •) F (– •; – 1) ± (2; •) B.9 Welche dieser Ungleichungen haben über der gegebenen Grundmenge G die Lösungsmenge L? Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Ungleichungen an! a) G = N, L = { } 4 – x _ 2 – x > 1 b) G = R, L = (–6; 4) 2 x + 2 _ x + 6 < 1 2 – x _ x + 4 < – 1 x + 8 _ x + 6 < 2 x – 2 _ x + 4 < 1 2 x – 2 _ x + 4 > 1 x + 2 _ 4 – x < – 1 3 x – 2 _ x – 4 < 2 x + 4 _ x + 2 < 1 x + 2 _ 2 x + 8 > 1 B.10 Kreuze die beiden falschen Aussagen an! Für alle a, b, c * R gilt: a < b ? b < c w a < c Für alle a, b, c * R gilt: a < b ? c < b w a+c<2b Für alle a, b, c * R gilt: a < b ? b < c w a+c>2b Für alle a, b, c, d * R gilt: a < b ? c < d w a – c < b – d Für alle a, b, c, d * R gilt: a < b ? d < c w a + d < b + c B.11 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Für alle a, b, c * R gilt: a < b w a · c < b · c Für alle a, b, c * R gilt: a < b w c – a < c – b Für alle a, b, c * R gilt: a + c < b + c w a < b Für alle a, b, c * R gilt: a – c < b – c w a + c < b + c Für alle a, b, c * R gilt: a · c < b · c w 2 · a · c < 3 · b · c B.12 Kreuze die beiden falschen Aussagen an! Für alle a, b * R+ und n * N gilt: a > b w an > bn Für alle a, b * R+ und n * N gilt: an < bn w a < b Für alle a * R+ und m, n * N gilt: m < n w am < an Für alle a * R+ und m, n * N gilt: m < n w a · m < a · n Für alle a * R+ und m, n * N gilt: m < n w a · � _ m < a · � _ n AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 AG-R 2.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 C REELLE FUNKTIONEN GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen. Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Form f (x) = a · x z + b mit z * Z bzw. z = 1 _ 2 als entsprechende Potenzfunktion erkennen bzw. betrachten können, zwischen diesen Darstellungen wechseln können. Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen der Form f (x) = a · x z + b (mit z * Z bzw. z = 1 _ 2 ) Wertepaare sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können. Die Wirkung der Parameter a und b bei Funktionen der Form f (x) = a · x z + b (mit z * Z bzw. z = 1 _ 2 ) kennen und die Parameter im Kontext deuten können. Typische Verläufe von Graphen von Polynomfunktionen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion erkennen. Absolute und relative Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können. FA-R 1.5 FA-R 3.1 FA-R 3.2 FA-R 3.3 FA-R 4.1 AN-R 1.1 Reelle Funktionen C Grundwissen in Kurzform Monotonie und Extremstellen von Funktionen Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M eine Teilmenge von A. Die Funktion f heißt monoton steigend in M, wenn für alle x1, x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) ª f (x2) monoton fallend in M, wenn für alle x1, x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) º f (x2) streng monoton steigend in M, wenn für alle x1, x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) < f (x2) streng monoton fallend in M, wenn für alle x1, x2 * M gilt: x1 < x2 w f (x1) > f (x2) Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt Maximumstelle von f in M, wenn f (x) ª f (p) für alle x * M, Minimumstelle von f in M, wenn f (x) º f (p) für alle x * M. Eine Stelle p * M heißt Extremstelle von f in M, wenn sie eine Maximumstelle oder Minimumstelle von f in M ist. Extremstellen einer Funktion f in einer Menge M bezeichnet man kurz als globale Extremstellen von f in M, weil sie sich auf die ganze Menge M beziehen und nicht nur auf eine Teilmenge von M. Es sei f: A ¥ B mit A, B a R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist, lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist. Unter einer Umgebung U(p) der Stelle p verstehen wir dabei ein beliebiges Intervall, das ganz in A liegt und p als innere Stelle enthält (dh. p ist nicht Randstelle dieses Intervalls). Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 C REELLE FUNKTIONEN Potenzfunktionen und Polynomfunktionen Eine reelle Funktion f mit f (x) = a · x n (wobei n * Z* und a ≠ 0) nennt man eine Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten. x f(x) 1 –1 1 2 –2 –1 0 x2 x4 x f(x) 1 –1 1 2 –2 –1 0 x3 x5 x f(x) 1 –1 1 2 –2 –1 0 x– 1 x– 3 x f(x) 1 –1 1 2 –2 –1 0 x– 2 x– 4 Eine Funktion f : R 0 + ¥ R mit f(x) = a· n � _ x(wobei n * N* und a ≠ 0) heißt Wurzelfunktion. Eine Funktion f : R ¥ R mit f (x) = a nx n + a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a o (wobei n * N, a n, a n – 1, …, a o * R und a n ≠ 0) heißt Polynomfunktion vom Grad n. Änderungsmaße von Funktionen Sei f eine auf einem Intervall [x1; x2] definierte reelle Funktion. Die reelle Zahl f (x2) – f (x1) heißt absolute Änderung (oder kurz Änderung) von f in [x 1; x 2], f (x 2) – f (x 1) _ f (x 1) mit f(x1) ≠ 0 heißt relative Änderung von f in [x 1; x 2], f (x 2) – f (x 1) _ x 2 – x 1 heißt mittlere Änderungsrate (oder Differenzenquotient) von f in [x 1; x 2], f (x 2) _ f (x 1) mit f(x1) ≠ 0 heißt Änderungsfaktor von f in [x 1; x 2]. C.1 Kreuze jene beiden Aussagen an, die auf den Graphen der rechts abgebildeten Polynomfunktion f: [0; 8] ¥ R zutreffen! 2 ist lokale Maximumstelle von f. 5 ist lokale Maximumstelle von f. 1 ist lokale Minimumstelle von f. 1 und 6 sind globale Minimumstellen von f. 2 und 8 sind globale Maximumstellen von f. x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 0 f C.2 Gegeben sind die Polynomfunktionen f und g mit f (x) = – 3 x2 +12x + 5 und g(x) = 2x2 –23x + 55. Für welche x * R ist f (x) > g (x)? ÜBEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG FA-R 1.5 FA-R 4.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 C REELLE FUNKTIONEN C.3 Von einer reellen Funktion f: R ¥ R sind folgende Funktionswerte gegeben: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(4) = 3, f(6) = 0 Kreuze jene beiden Aussagen an, die sicher zutreffen! f ist in [4; 6] streng monoton fallend. f ist in [0; 4] nicht monoton steigend. f ist in [– 3; 6] nicht monoton fallend. f hat an der Stelle 3 eine Nullstelle. f hat an der Stelle 6 eine Nullstelle. C.4 Kreuze jene beiden Aussagen an, die auf den abgebildeten Graphen der Funktion f: [0; 6] ¥ R zutreffen! f ist monoton steigend in [3; 5]. f hat keine lokale Maximumstelle in [0; 6]. f ist nicht monoton in [0; 6]. f hat unendlich viele globale Maximumstellen in [0; 6]. f hat keine Nullstellen in [0; 6]. x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 C.5 Kreuze jeweils jene beiden Aussagen an, die auf den abgebildeten Graphen der Funktion f: [– 2; 8] ¥ R zutreffen! 0 ist keine lokale Minimumstelle von f. 4 ist keine lokale Maximumstelle von f. 5 ist keine lokale Maximumstelle von f. 1 ist keine lokale Maximumstelle von f. 5 ist keine lokale Minimumstelle von f. x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 –2 –1 1 2 3 –1 0 f C.6 Die Abbildung zeigt Graphen von vier Polynomfunktionen. Ordne jedem dieser Graphen eine passende Termdarstellung aus der rechten Tabelle zu! x y 1 2 3 4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –1 0 f1 f2 f3 f4 f 1 A x ¦ 1 _ 2 x 2 – 1 f 2 B x ¦ – 1 _ 2 x 2 + 1 f 3 C x ¦ 1 _ 2 x 3 + 1 f 4 D x ¦ – 1 _ 2 x 3 + 1 E x ¦ 1 _ 2 x 3 + 2 F x ¦ – 2 x 2 + 2 C.7 Von einer Polynomfunktion f: R ¥ R zweiten Grades sind folgende Funktionswerte gegeben: f (– 6) = 1, f (0) = 10, f (2) = 7, f (4) = 1 Kreuze jene beiden Aussagen an, die sicher zutreffen! f nimmt an der Stelle 0 den größten Funktionswert an. f ist streng monoton steigend in [– 6; 0] f ist streng monoton fallend in [2; 4] f hat zwei positive Nullstellen. f hat an der Stelle –1 eine lokale Maximumstelle. FA-R 1.5 FA-R 1.5 FA-R 1.5 FA-R 3.1 FA-R 3.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 C REELLE FUNKTIONEN C.8 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f vom Grad 2. Ergänze die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht! Die Funktion f ist von der Form x ¦ x2 +ax+bmit und . a > 0 b > 0 a < 0 b < 0 a = 0 b = 0 x f(x) f C.9 Die Abbildung zeigt zwei Funktionen f und g der Form x ¦ a x3 + b. Ergänze die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht! Beim Übergang von f zu g muss und werden. a vergrößert b vergrößert a verkleinert b verkleinert a nicht geändert b nicht geändert x f(x), g(x) f g C.10 Die Abbildung zeigt Ausschnitte von Graphen von Polynomfunktionen f 1 bis f 5. Kreuze jene beiden Funktionen an, die Polynomfunktionen dritten Grades sein könnten! f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 –3 –2 –1 0 f1 f2 f3 f4 f5 C.11 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Ermittle jeweils a und c! a) f(x) = ax3 + c b) f(x) = ax2 + c c) f(x) = a _ x + c x f(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f a = c = x f(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 0 f a = c = x f(x) 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 0 f a = c = FA-R 3.3 FA-R 3.3 FA-R 4.1 FA-R 3.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 C REELLE FUNKTIONEN C.12 a) V on einer Funktion f mit f (x) = a x3 + c kennt man f (–1) = 7 und f (2) = –11. Ermittle eine Funktionsgleichung von f! f (x) = b) V on einer Funktion g mit g (x) = a _ x + c kennt man g (– 2) = – 3 und g (6) = – 2. Ermittle eine Funktionsgleichung von g! g (x) = C.13 Gegeben sind die Funktionen f, g: R+ ¥ R. Für welche x * R+ ist f (x) < g (x)? a) f(x) = 5 _ 6 x 3 – 2, g(x) = –1 _ 2 x 3 + 5 _ 2 b) f(x) = 1 _ 2 x – 2, g(x) = – 6 _ x + 2 C.14 Gegeben sind die reellen Funktionen f, g: R* ¥ R mit f(x) = – 2 _ x + 4und g (x) = 4 _ x2 – 1. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Der Graph von f ist symmetrisch zur 1. Achse. Der Graph von g ist symmetrisch zur 2. Achse. Der Graph von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktion g hat keine Nullstellen. Die Funktion f hat genau eine Nullstelle. C.15 Sei f eine reelle Funktion mit f (x) = a · xz mit a * R* und z * Z. Ergänze durch Ankreuzen den folgenden Text so, dass eine sicher zutreffende Aussage entsteht! Für ist f in streng monoton fallend. a > 0 und z > 0 R a < 0 und z > 0 R+ a < 0 und z < 0 R– C.16 a) G egeben ist die reelle Funktion f: R ¥ R, f(x) = – 1 _ 2 · x 2 + 9. Ermittle alle Werte, die x annehmen kann, wenn f (x) das Intervall [1; 7] durchläuft! x * b) G egeben ist die reelle Funktion f: R* ¥ R,f(x)=6 _ x – 3. Ermittle alle Werte, die x annehmen kann, wenn f (x) das Intervall [– 2; 0] durchläuft! x * C.17 Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Funktionen an! a) Welche dieser Funktionen haben keine Nullstellen in R–? f (x) = x 5 + 1 f(x) = 3 – x 4 f(x) = 1 – 2x 3 f (x) = 1 _ 2 x 2 – 5 f (x) = x 4 + 1 b) W elche dieser Funktionen sind im Intervall [– 3; –1] streng monoton fallend? f(x)=5–1 _ x f(x) = –1 _ x 3 + 3 f(x)=2+1 _ x 2 f(x) = –1 _ x 4 + 2 f (x) = 2 _ x + 1 FA-R 3.2 FA-R 3.2 FA-R 1.5 FA-R 3.3 FA-R 3.2 FA-R 3.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 C REELLE FUNKTIONEN C.18 Beschrifte jeweils die rot eingezeichneten Strecken. a) D ie Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f: R 0 + ¥ R, f (x) = a · � _ x+bmita,b>0. f(x) x 4 f b) D ie Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f: R* ¥ R,f(x)=a _ x +bmita,b>0. f(x) x 1 f _1 2 C.19 Die Abbildung zeigt Ausschnitte von Graphen von Polynomfunktionen f 1 bis f 5. Kreuze jene beiden Funktionen an, die als Funktionen der Form x ¦ a · xz + b mit a, b * R und z * Z in Frage kommen! f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –4 –3 –2 –1 0 f1 f2 f3 f4 f5 C.20 Sei f: R* ¥ R eine reelle Funktion mit f (x) = a · xz + b, wobei a * R*, b * R und z * Z –. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an! Für gerades z ist der Graph von f symmetrisch bezüglich der zweiten Achse. Für ungerades z ist der Graph von f symmetrisch bezüglich des Ursprungs. Für gerades z und b = 1 sind alle Funktionswerte von f größer als 1. Für ungerades z und b > 0 hat der Graph von f genau eine Nullstelle. Für gerades z und b < 0 hat der Graph von f genau zwei Nullstellen. C.21 Die Abbildung zeigt den Graphen einer reellen Funktion f. Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen im Koordinatengitter! g1 (x) = f(x) – 2 g2 (x) = f(x – 2) g3 (x) = – 2 · f (x) FA-R 3.3 FA-R 3.1 FA-R 3.3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 f FA-R 3.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 C REELLE FUNKTIONEN C.22 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 3 x2 + 1. Berechne: a) die relative Änderung von f in [0; 2]: b) die mittlere Änderungsrate von f in [− 1; 3]: C.23 Die Abbildung zeigt den Graphen einer reellen Funktion f. Berechne: a) die mittlere Änderungsrate von f in [– 2; 6]: b) die relative Änderung von f in [2; 4]: c) den Änderungsfaktor von f in [4; 6]: d) die absolute Änderung von f in [– 2; 4]: C.24 Von einer reellen Funktion kennt man den Funktionswert f (3) = 7. Die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [3; 6] beträgt – 3 _ 2 . Berechne den Funktionswert von f an der Stelle 6! f (6) C.25 Gegeben ist die reelle Funktion f: R* ¥ R, f(x)=a _ x mit a * R*. Sei 0 < x1 < x 2. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die relative Änderung von f in [x1 ; x 2] ist größer als 0. Die mittlere Änderungsrate von f in [x1 ; x 2] ist kleiner als 0. Der Änderungsfaktor von f in [x1 ; x 2] ist größer als 0. Die mittlere Änderungsrate von f in [x1 ; x 1 + 1] ist gleich groß wie die absolute Änderung von f in [x1 ; x 1 + 1]. Die mittlere Änderungsrate von f in [x1 ; 2 x1] ist halb so groß wie die absolute Änderung von f in [x1 ; 2 x1] . C.26 Gegeben ist die reelle Funktion f: R ¥ R mit f(x) = 1 _ 2 x 2 + 2. Gib ein konkretes Beispiel für ein Intervall [x 1; x 2] an, für das f (x 2) – f (x1) __ x 2 – x 1 = – 1 ist. C.27 Gegeben sind die reellen Funktionen f: R+ ¥ R mit f 1 (x) = a _ x , f2 (x) = a _ x 2 , f3 (x) = ax 2 und f 4 (x) = ax 3. Welche beiden der folgenden Aussagen sind für alle a * R+ und für alle [x1 ; x2 ] mit 0 < x1 < x2 richtig? Die mittlere Änderungsrate von f1 in [x1 ; x2 ] ist kleiner als die mittlere Änderungsrate von f2 in [x1 ; x2 ]. Die mittlere Änderungsrate von f3 in [x1 ; x2 ] ist kleiner als die mittlere Änderungsrate von f4 in [x1 ; x2 ]. Die relative Änderung von f1 in [x1 ; x2 ] ist kleiner als die als die relative Änderung von f2 in [x1 ; x2 ]. Die relative Änderung von f3 in [x1 ; x2 ] ist kleiner als die als die relative Änderung von f4 in [x1 ; x2 ]. Der Änderungsfaktor von f2 in [x1 ; x2 ] ist kleiner als der Änderungsfaktor von f3 in [x1 ; x2 ]. AN-R 1.1 AN-R 1.1 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –1 0 f AN-R 1.1 AN-R 1.1 AN-R 1.1 AN-R 1.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können. Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können. Die Wirkung der Parameter c und a (bzw. λ) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können. Charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: f (x + 1) = a · f (x), […] Die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können. Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktionen bewerten können. FA-R 5.1 FA-R 5.2 FA-R 5.3 FA-R 5.4 FA-R 5.5 FA-R 5.6 EXPONENTIALFUNKTIONEN D Grundwissen in Kurzform Eine reelle Funktion f: A ¥ R mit f (x) = c · a x (c, a * R+) heißt Exponentialfunktion mit der Basis a. Eigenschaften von Exponentialfunktionen (1) Alle Funktionswerte sind positiv und alle Graphen gehen durch den Punkt (0 1 c). (2) Eine Exponentialfunktion mit c > 0 ist streng monoton steigend, wenn a > 1 ist, konstant, wenn a = 1 ist, streng monoton fallend, wenn 0 < a < 1 ist. (3) D ie Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = c · a x und g (x) = c · ( 1 _ a ) x liegen symmetrisch bezüglich der y-Achse. (4) D ie Graphen nähern sich für a > 1 unbegrenzt der negativen x-Achse und für 0 < a < 1 unbegrenzt der positiven x-Achse. Darstellung von exponentiellen Wachstums- oder Abnahmeprozessen mit Hilfe der Eulerschen Zahl e Exponentieller Wachstumsprozess: N (t) = N (0) · a t (mit a > 1) oder N (t) = N (0) · e λt (mit λ > 0) Exponentieller Abnahmeprozess: N (t) = N (0) · a t (mit 0 < a <1) oder N(t) = N(0) · e ‒ λt (mit λ > 0) Verdoppelungszeit bzw. Halbwertszeit Wird ein exponentieller Wachstumsprozess (Abnahmeprozess) durch N (t) = N 0 · a t beschrieben, so nennt man die Zeit t, in der N (t) verdoppelt (halbiert) wird, die Verdoppelungszeit (Halbwertszeit) des Prozesses. Diese Zeit hängt nur von der Basis a ab, nicht aber vom Ausgangswert N0. x y 2 4 –4 –2 2 4 6 8 10 0 0.5x 1x 2x 3x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
20 D Exponentialfunktionen D.1 Die Abbildung zeigt Ausschnitte von Graphen reeller Funktionen f 1 bis f 5. Kreuze jene beiden Funktionen an, die als Funktionen der Form f (x) = c · ax mit a, c * R+ in Frage kommen! x y 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 0 f1 f2 f3 f4 f5 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 D.2 Gegeben sind Wertetabellen der reellen Funktionen f 1 bis f 5. Kreuze jene beiden Funktionen an, die sicher keine Exponentialfunktionen sind! x f 1 (x) x f 2 (x) x f 3 (x) x f 4 (x) x f 5 (x) ‒ 3 64 ‒ 1 8 ‒ 2 16 ‒ 4 243 ‒ 1 192 ‒ 2 32 0 12 0 100 ‒ 2 108 1 12 0 16 1 18 1 250 ‒ 1 72 2 6 2 8 2 27 2 625 1 32 3 1,5 D.3 Die Abbildung zeigt Graphen zweier Exponentialfunktionen f und g. Gib Funktionsgleichungen von f und g an und berechne die gesuchten Funktionswerte! f (x) = g (x) = f (4) = g (‒ 2) = D.4 Kreuze jeweils jene beiden Funktionen s: R 0 + ¥ R an, die a) eine exponentielle Zunahme, b) eine exponentielle Abnahme beschreiben! s1 (t) = 100 + 100 · 0,9t s 1 (t) = 500 · 0,9t s2 (t) = 0,1 · 1,2 t s 2 (t) = 10 · 2 ‒ t s3 (t) = 50 · (1 – 0,1) t s 3 (t) = 50 – 50 · 0,9t s4 (t) = 12 · t 100 s 4 (t) = 800 · (2 – 0,1) t s5 (t) = 1,01 2 t s 5 (t) = 8 · (1 + 0,5) 2 t ÜBEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG FA-R 5.1 FA-R 5.1 FA-R 5.2 x y 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 0 f g FA-R 5.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 D Exponentialfunktionen D.5 Angenommen, der Bestand eines Wertpapierdepots beträgt derzeit 50 000 € und wächst jährlich um 5 %. Kreuze jene Gleichung an, die den Depotbestand W (t) nach t Jahren richtig wiedergibt! W (t) = 50 000 · 5 t W (t) = 50 000 · 0,05 t W (t) = 50 000 + 50 000 · 0,05 · t W (t) = 50 000 · 1,05 t W (t) = 50 000 · 1,05 · t W (t) = 50 000 + 50 000 · 0,05 t D.6 Durch Schlägerungen wird der momentane Holzbestand H0 eines Waldes jährlich um 12 % vermindert. Kreuze jene Gleichung an, die den Holzbestand H (t) nach t Jahren richtig wiedergibt! H (t) = H0 · 0,12 t H (t) = H0 · 0,88 t H (t) = H0 – H0 · 0,12 t H (t) = H0 · 1,12 t H (t) = H0 · 1,12 · t H (t) = H0 – H0 · 0,12 · t D.7 Ordne jedem der unten dargestellten Graphen in der linken Tabelle eine mögliche Termdarstellung aus der rechten Tabelle zu! f 1 A x ¦ c · a x mit 0 < a < 1, c > 0 f 2 B x ¦ c · x a mit 0 < a < 1, c > 0 f 3 C x ¦ c · a x mit a > 1, c > 0 f 4 D x ¦ c · x a mit a > 1, c > 0 E x ¦ c · ax mit a > 1, c < 0 F x ¦ c · xa mit a < 0, c > 0 x f1(x) f1 x f2(x) f2 x f3(x) f3 x f4(x) f4 D.8 Gegeben ist die Funktion f (x) = 4 · 21 – x. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! f ist streng monoton steigend in R. Werden die Argumente um 1 erhöht, dann erhöhen sich Funktionswerte um 100%. Für alle x * R ist f (x) > 0. Der Graph von f geht durch den Punkt (0 1 4). Die erste Achse ist Asymptote des Graphen. D.9 Gegeben ist die Funktion f. Kreuze jeweils jene beiden Aussagen an, die für alle x * R erfüllt sind! a) f (x) = 2 · 3 x b) f (x) = 5 · 2 ‒ x f (x + 1) = 6 · f (x) f (x – 4) = 16 · f (x) f(2x) = 9·f(x) f (x + 1) = 2 · f (x) f(x + 3) – f(x + 2) = 6·f(x +1) f(x+2)+f(x+4)=5 _ 2 ·f(x + 3) f(x)·f(2x) = 4·f(3x) f(x+2)–f(x–2)=15 _ 4 · f (x) f(5x)·f(2x) = f(4x)·f(3x) f(x)·f(2x) = 25·f(3x) FA-R 5.3 FA-R 5.3 FA-R 5.3 FA-R 5.4 FA-R 5.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
22 D Exponentialfunktionen D.10 Kreuze jeweils die beiden zutreffenden Funktionen an! a) Welche dieser Funktionen sind für c > 1 b) Welche dieser Funktionen sind für c > 1 und 0 < a < 1 streng monoton fallend in R+? und λ > 0 streng monoton fallend in R+? f(t)=c–at f(t) = c·(1 + e ‒ λt) f (t) = c · a2 t f (t) = 2 · c _ 1+c·e ‒ λt f(t) = c·(1 + at) f (t) = 10 · c __ c + e λt f (t) = c _ a t f (t) = e λt _ c + e λt f(t)=c+a‒ t f (t) = c · (e λt – 1) D.11 Welche dieser Aussagen treffen für jede Funktion f (x) = c · ax mit a, c * R+ und alle h * R+ zu? Kreuze die beiden zutreffende Aussagen an! Die absolute Änderung f (x + h) – f (x) hängt von h und von x ab. Die relative Änderung f(x + h) – f(x) _ f (x) hängt von h und von x ab. Die relative Änderung f(x + h) – f(x) _ f (x) hängt nur von h, aber nicht von x ab. Der Differenzenquotient f(x + h) – f(x) _ h hängt nur von h, aber nicht von x ab. Der Änderungsfaktor f (x + h) _ f (x) hängt von h und von x ab. D.12 In der Abbildung sind zwei Funktionen f und g der Form f (x) = c · e ‒ λx mit c > 0 und λ > 0 dargestellt. Ergänze durch Ankreuzen den folgenden Text so, dass eine korrekte Aussage entsteht! Beim Übergang von f zu g muss und werden. λ vergrößert c vergrößert λ verkleinert c verkleinert λ nicht geändert c nicht geändert D.13 Die Abbildung zeigt Graphen von Exponentialfunktionen. Ordne jeder der Funktionen f1 bis f4 in der linken Tabelle ihre Halbwertszeit τ aus der rechten Tabelle zu. f 1 A τ = 2 f 2 B τ = 3 f 3 C τ = 4 f 4 D τ = 6 E τ = 8 F τ = 10 FA-R 5.3 FA-R 5.4 FA-R 5.3 x y f g FA-R 5.5 x y 2 4 6 8 10121416 2 4 6 8 10 0 f1 f2 f3 f4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
23 D Exponentialfunktionen D.14 Welche dieser Vorgänge lassen sich (wenigstens annähernd) durch eine Exponentialfunktion beschreiben? Kreuze die beiden zutreffenden Vorgänge an! Die Lufttemperatur nimmt pro 100 m Höhenzunahme um jeweils 1° Celsius ab. Beim Durchgang von Licht durch ein Glasfaserkabel wird pro 100 m Kabellänge ein Fünzigstel der jeweils vorhandenen Lichtmenge absorbiert. Der Listenpreis eines Gebrauchtwagens sinkt jährlich um 25 % des Werts im vorangegangenen Jahr. Der für die Steuerberechnung maßgebliche Wert einer Maschine sinkt pro Jahr um 20% des Neuwerts. Ein Politiker fordert, dass die Mindestpensionen pro Jahr um 8 % des diesjährigen Werts erhöht werden sollten. D.15 Von einer Exponentialfunktion f mit f (x) = c · a x kennt man: a) c=2000unda=3 _ 2 b) f (‒ 2) = 160 und c = 250 c) a = 2 _ 3 und f (‒ 3) = 2 430 Berechne f (4)! Berechne a! Berechne c! f (4) = a = c = D.16 Vor 10 Jahren betrug der Holzbestand eines Waldes 7000 m3. Ohne Schlägerung ist er inzwischen auf 9 880 m3 angewachsen. Berechne den Holzbestand in 5 Jahren unter der Annahme, dass das Holzwachstum ein exponentieller Vorgang ist! D.17 Ein radioaktiver Prozess kann durch m (t) = m 0 · e ‒ 0,08664·t beschrieben werden. Dabei ist m (t) die Masse der radioaktiven Substanz nach t Tagen in mg. Um wie viel Prozent nimmt die Menge des radioaktiven Elements pro Tag ab? D.18 Von den Exponentialfunktionen f und g kennt man jeweils einige Werte, die in den Wertetabellen angegeben sind. Ergänze die fehlenden Werte in den Wertetabellen und gib Funktionsgleichungen von f und g an! f (x) = g (x) = D.19 Angenommen, der Bestand eines Wertpapierdepots wächst jährlich um p %. Wie viele Jahre dauert es dann ungefähr, bis sich der Depotwert verdreifacht? Ordne jedem Wert von p in der linken Tabelle einen passenden Zeitraum aus der rechten Tabelle zu! D.20 Das radioaktive Isotop Barium 140 hat eine Halbwertszeit von 13 Tagen. Berechne, wie viel Prozent der ursprünglich vorhandenen Menge N0 nach 2 Tagen noch vorhanden sind! FA-R 5.6 FA-R 5.2 FA-R 5.2 FA-R 5.2 FA-R 5.2 a) x f (x) b) x g (x) ‒ 2 4 096 ‒ 3 ‒ 1 5 120 ‒ 1 2 916 8 000 2 864 4 256 p = 4 A ≈ 35 Jahre p = 6 B ≈ 28 Jahre p = 9 C ≈ 21 Jahre D ≈ 19 Jahre E ≈ 13 Jahre F ≈ 8 Jahre FA-R 5.5 FA-R 5.5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
24 D Exponentialfunktionen D.21 Die Bevölkerungszahl einer Stadt ist in den letzten Jahren von 1,55 Mio. im Jahr 2000 auf 1,79 Mio. im Jahr 2016 gestiegen. Angenommen, die Bevölkerung wächst seit dem Jahr 2000 annähernd exponentiell. Welche beiden der folgenden Prognosen sind dann zutreffend? Kreuze an! Bis zum Jahr 2035 steigt die Bevölkerungszahl auf 2,20 Mio. Pro Jahr nimmt die Bevölkerung um ca. 0,9 % zu. Im Jahr 2030 wird erstmals die 2-Milllionengrenze überschritten. Von 2017 bis 2027 nimmt die Bevölkerung um ca. 160 000 Personen zu. Von 2026 bis 2031 nimmt die Bevölkerung um ca. 90000 Personen zu. D.22 Die Formel I = 10 ‒ 12 · 10 L _ 10 gibt den Zusammenhang zwischen der vorhandenen Schallintensität I (gemessen in W/m2) und der empfundenen Lautstärke L (gemessen in dB) an. Welche der folgenden Aussagen sind falsch? Kreuze die beiden falschen Aussagen an! Einer Schallintensität von 100W/m2 entspricht eine Lautstärke von 140 dB. Einer Lautstärke von 80 dB entspricht eine Schallintensität von 0,00001W/m2. Wird die Schallintensität verfünffacht, so nimmt die Lautstärke um ca. 7dB zu. Einer Vergrößerung der Lautstärke um 4 dB entspricht eine Erhöhung der Schallintensität um ca. 250 %. Entwickelt ein Motorrad eine Lautstärke von 80 dB, so erzeugen 20 solche Motorräder eine Lautstärke von ca. 93 dB. D.23 Wird ein Körper mit der Anfangstemperatur A in einen Raum mit der (konstant gehaltenen) Temperatur B < A gebracht, so kühlt er auf die Temperatur B ab. Sei T (t) = 20 + 160 · 2 ‒ t _ 10 die Temperatur des Körpers (in °C) zum Zeitpunkt t (in Minuten nach Beginn des Abkühlvorgangs). Welche Aussagen sind richtig? Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! D.24 Die Formel I = U _ R · (1 – e ‒ R _ L t) gibt die elektrische Stromstärke I in einer Spule mit der Induktivität L und dem Widerstand R zum Zeitpunkt t Sekunden nach Anlegen der Spannung U an. (I in Ampere, L in Henry, R in Ohm und U in Volt). Welche Aussagen sind richtig? Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! FA-R 5.2 FA-R 5.4 FA-R 5.4 Die Anfangstemperatur dieses Körpers beträgt 160 °C, die Raumtemperatur B beträgt 20 °C. Innerhalb der ersten 10 Minuten sinkt die Temperatur des Körpers auf die Hälfte seiner Ausgangstemperatur. Innerhalb der ersten 20 Minuten sinkt die Temperatur des Körpers auf ein Drittel seiner Ausgangstemperatur. Die Temperatur des Körpers nimmt pro Minute um ca. 6,6 % ab. Die Temperaturdifferenz T (t) – 20 nimmt exponentiell mit einer Halbwertszeit von 10 Minuten ab. FA-R 5.4 I (t) ist streng monoton steigend in R+. Für alle t º 0 ist I(t) º U _ 10 · R . Für t = L · ln 3 _ R ist I (t) = U _ 3 · R . Für alle t º 0 ist I(t) ª U _ R . Für alle t º 0 ist I(t + 1) – I(t) zu U _ R direkt proportional. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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