SCHRIFTLICHE REIFEPRÜFUNG Mathematik verstehen WOSCHITZ | KOTH | SALZGER | ULOVEC
Mathematik verstehen, Maturatraining Schulbuchnummer 175037 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 31. August 2023, GZ 2023-0.440.1661, gemäß §14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 8. Klassen an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2018) geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 05. August 2025, GZ 2025-0.466.818, teilt das Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes „Mathematik verstehen, Maturatraining“ (BNR 175.037) kein Einwand besteht. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig; imprint Ilona Külen, Zusmarshausen Bildnachweis: S. 96: msan10 / Getty Images - iStockphoto 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Karin Drucks, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung und Layout: normaldesign, Schwäbisch Gmünd Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-12372-5 (Mathematik verstehen OS MT) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik verstehen MATURATRAINING Hochschulprofessorin OStR Mag. Dr. Maria Koth Prof. OStR Mag. Dr. Bernhard Salzger MMag. Dr. Andreas Ulovec Prof. OStR Mag. Dr. Helge Woschitz Unter Mitarbeit von: Univ. Prof. Mag. Dr. Günther Malle Prof. OStR Mag. Sonja Malle www.oebv.at Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Erklärungen zum Buch Dieser Zusatzband zum Lehrbuch „Mathematik verstehen“ enthält Aufgaben zur Vorbereitung auf die standardisierte Reifeprüfung in den vorgeschriebenen Formaten, also Aufgaben, wie man sie bei der schriftlichen Klausur erwarten kann. Sie sind in erster Linie zum Selbststudium bzw. zur Selbstkontrolle für angehende Maturantinnen und Maturanten gedacht. Das Ziel besteht darin, erworbene Grundkompetenzen zu überprüfen und abzusichern. INHALT 1 Inhaltsbereich Algebra und Geometrie – Aufgaben vom Typ 1 4 2 Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten – Aufgaben vom Typ 1 29 3 Inhaltsbereich Analysis – Aufgaben vom Typ 1 54 4 Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik – Aufgaben vom Typ 1 76 5 Aufgaben vom Typ 2 mit reduziertem Kontext 95 6 Aufgaben vom Typ 2 97 Lösungen zu allen Aufgaben 106 AUFGABENTYPEN Die Aufgaben in den Kapiteln 1 bis 4 sind sogenannte „Typ 1-Aufgaben“, die Aufgaben in den Kapiteln 5 und 6 sogenannte „Typ 2-Aufgaben“. In den Kapiteln 1 bis 4 werden die Grundkompetenzen, die bei den jeweils folgenden Aufgaben im Vordergrund stehen, in blau unterlegten Querbalken angeführt, in den Kapiteln 5 und 6 werden sie am Rand bei den einzelnen Aufgabenstellungen in abgekürzter Form angegeben. Typ 1-Aufgaben: Diese bilden den ersten Teil der Klausur. In diesen Aufgaben werden Grundwissen und Grundkompetenzen einigermaßen „punktgenau“ abgeprüft, dh. es steht jeweils eine ganz bestimmte Grundkompetenz aus einem der vier Inhaltsbereiche im Vordergrund. Besondere Eigenständigkeit in der Anwendung, Reflexion und Vernetzung von Grundkompetenzen sind dabei nicht erforderlich. Ein Technologieeinsatz ist möglich, aber nicht zwingend notwendig. Typ 2-Aufgaben: Diese bilden den zweiten Teil der Klausur. Die Aufgabe mit reduziertem Kontext ist in vier unabhängige Teilaufgaben unterteilt. Die anderen drei Aufgaben, von denen nur die beiden mit der höchsten Punktezahl gewertet werden, bestehen jeweils aus unabhängigen Teilaufgaben, die in weitere von einander abhängige Aufgabenstellungen unterteilt sein können. Typ 2-Aufgaben sind komplexer als Typ 1-Aufgaben und weisen folgende Charakteristika auf: • In diesen Aufgaben werden verschiedene Grundkompetenzen miteinander vernetzt, die durchaus aus verschiedenen Inhaltsbereichen stammen können. • Der Einsatz von Grundkompetenzen wird in weniger vertrauten Kontexten und Anwendungsbereichen verlangt. Weniger vertraute Kontexte werden im Allgemeinen in der jeweiligen Aufgabe erklärt. Dies hat oft längere Texte zur Folge, die auch mehr als das enthalten können, was zur Lösung der Aufgabe unbedingt notwendig ist. • Auch innermathematische Fragestellungen sind möglich. • Die Lösungen dieser Aufgaben erfordern eine gewisse Selbstständigkeit in der Anwendung von Wissen und Fertigkeiten. • Ein Technologieeinsatz kann definitiv notwendig oder zumindest sehr hilfreich sein. Lösungen zu den Aufgaben Ab Seite 106 gibt es zu allen Aufgaben die dazugehörigen Lösungen, wobei viele Lösungen (vor allem jene der Typ 2-Aufgaben) detailliert vorgeführt werden oder zumindest wichtige Hinweise enthalten. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Aufgabenformate (Antwortformate) für Typ 1-Aufgaben Es gibt sieben verschiedene Typ 1-Aufgabenformate: 1. Offenes Antwortformat: Dabei soll eine Antwort formuliert oder eine Berechnung durchgeführt werden. ZB: Aufgabe 1.32 2. Halboffenes Antwortformat: Ein Teil der Antwort (zB Teil einer Abbildung, Teil einer Gleichung) ist vorgegeben; der fehlende Teil soll ergänzt werden. ZB: Aufgabe 1.51 3. Single-Choice-Format in der Variante „1 aus 5“: Zu einer Aufgabenstellung sind fünf Antwortmöglichkeiten vorgegeben, von denen genau eine richtig ist und angekreuzt werden soll. (Man erkennt diesen Aufgabentyp an Formulierungen wie zB „Kreuzen Sie die Gleichung an, die …!“ ZB: Aufgabe 1.15 4. Multiple-Choice-Format in der Variante „2 aus 5“: Zu einer Aufgabenstellung sind fünf Antwortmöglichkeiten vorgegeben, von denen genau zwei richtig sind und angekreuzt werden sollen. (Man erkennt diesen Aufgabentyp an Formulierungen wie zB „Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!“) ZB: Aufgabe 1.02 5. Lückentext: Es ist ein Satz mit zwei Lücken vorgegeben, die ausgefüllt werden müssen. Für jede Lücke sind je drei Antwortmöglichkeiten vorgegeben, von denen jeweils eine richtig ist und angekreuzt werden soll. ZB: Aufgabe 1.44 6. Zuordnungsformat: Mehrere Aussagen (Terme, Abbildungen) stehen einander in zwei Tabellen gegenüber. Durch Eintragen von Buchstaben soll gekennzeichnet werden, welche Aussagen (Terme, Abbildungen) einander zugeordnet werden müssen. ZB: Aufgabe 1.09 7. Konstruktionsformat: Die Aufgabe erfordert die Ergänzung einer vorgegebenen Abbildung (zB durch Einzeichnen von Vektoren als Punkte bzw. Pfeile oder Funktionsgraphen in ein vorgegebenes Koordinatensystem). ZB: Aufgabe 1.65 Tipps zum Lösen der Aufgaben Um die Arbeit mit diesem Trainingsband möglichst effektiv zu gestalten, empfiehlt es sich, sich an folgende Ratschläge zu halten: • Versuchen Sie immer, die Aufgabe selbstständig zu lösen, bevor Sie die dazugehörige Lösung nachschlagen! • Lesen Sie den Angabetext der Aufgabe immer vollständig und möglichst genau durch! Dies ist oft für eine richtige Lösung der Aufgabe entscheidend. • Beachten Sie bei Single-Choice- bzw. Multiple-Choice-Aufgaben alle angebotenen Antwortmöglichkeiten und entscheiden Sie sich nicht vorschnell für irgendwelche Ankreuzungen! Versuchen Sie auch Antwortmöglichkeiten begründet auszuschließen! Beachten Sie insbesondere, wie viele Ankreuzungen in der Aufgabenstellung verlangt werden! • Kontrollieren Sie Ihre Lösungen nach Möglichkeit durch Skizzen, Nebenrechnungen, selbst gewählte Beispiele oder durch Technologieeinsatz (zB Kontrolle von Funktionsgraphen)! • Bevor Sie Aufgaben aus einem der oben genannten Inhaltsbereiche bearbeiten, kann es durchaus nützlich sein, den betreffenden Inhaltsbereich im Kompendium (Mathematik verstehen 8) durchzulesen. Dadurch kann Vergessenes schnell wieder aufgefrischt werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 Typ 1 Algebra und Geometrie ALGEBRA UND GEOMETRIE 1 Grundbegriffe der Algebra Wissen über die Zahlenmengen, -bereiche N, Z, Q, R, C verständig einsetzen können. AG-R 1.1 1.01 Wichtige Zahlenmengen 1 Zahlen können stets als Elemente bestimmter Zahlenmengen betrachtet werden. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! [2 aus 5] – � _ 4 _ 25 ist ein Element der Menge Q. � _ – 4 _ 25 ist ein Element der Menge R. – � _ 25ist ein Element der Menge N. � _ 4ist ein Element der Menge C. � _ 25 _ 4 ist ein Element der Menge Z. 1.02 Wichtige Zahlenmengen 2 Jede reelle Zahl liegt in mindestens einer der Mengen N, Z, Q, R oder C. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! [2 aus 5] – 18,7 liegt in R, aber nicht in Q. 5 · 10– 8 liegt in Q, aber nicht in Z. � _ 9liegt in Q, aber nicht in N. π _ 4 liegt in Q, aber nicht in N. 3 + i liegt in C, aber nicht in R. 1.03 Teilmengenbeziehungen von Zahlenmengen Bei Zahlenmengen sind Teilmengenbeziehungen zu beachten. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! [2 aus 5] Die Menge der reellen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen. Die Menge der positiven rationalen Zahlen ist keine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen. Die Menge der negativen reellen Zahlen ist keine Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen ist gleich der Menge der ganzen Zahlen. Typ 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 Typ 1 Algebra und Geometrie 1.04 Durchschnitte und Vereinigungen von Zahlenmengen Manchmal müssen Durchschnitte und Vereinigungen von Zahlenmengen gebildet werden. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden korrekten Aussagen an! [2 aus 5] N ± Z = Z Q ° Z = { } Q+ ± Q– = Q R ° C = R N ° N* = N 1.05 Darstellung reeller Zahlen Reelle Zahlen können unterschiedlich dargestellt werden. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! [2 aus 5] Jede rationale Zahl besitzt eine endliche Dezimaldarstellung. Jede reelle Zahl besitzt eine endliche oder unendliche Dezimaldarstellung. Es gibt irrationale Zahlen mit periodischer Dezimaldarstellung. Jeder rationalen Zahl entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden. Jedem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht genau eine rationale Zahl. 1.06 Aussagen über Zahlen Gegeben sind einige Aussagen über Zahlen. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden korrekten Aussagen an! [2 aus 5] Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt stets eine weitere rationale Zahl. Es gibt endlich viele rationale Zahlen. Es gibt unendlich viele irrationale Zahlen. Zahlen der Form � _ a mit a * Q+ sind stets irrational. Zahlen der Form � _ n mit n * N liegen nie in N. 1.07 Elemente einer Zahlenmenge Gegeben ist die Menge M = R\Q+. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden Zahlen an, die in der Menge M liegen! [2 aus 5] � _ 324 0,5 · 10– 1 π 0 2 _ 3 1.08 Angeben einer Zahlenmenge Manchmal sucht man eine Zahlenmenge, die „zwischen“ zwei gegebenen Zahlenmengen liegt. AUFGABENSTELLUNG Geben Sie eine Menge M an, für die N ² M ² R 0 + gilt! M = Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 Typ 1 Algebra und Geometrie Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variablen, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit. AG-R 1.2 1.09 Äquivalente Terme Gegeben sind zwei Terme. AUFGABENSTELLUNG Ordnen Sie jedem Term in der linken Tabelle den passenden äquivalenten Term (aus A bis D) aus der rechten Tabelle zu! x – 1 _ x – 2 A 1 _ x – 1 1 _ x ·(1–x) B 1 _ x C – x + 1 _ x D 1 _ x + 1 1.10 Umformungen eines Terms Gegeben ist der Term (x 2 · y – 0,5) 2 __ z 3 . AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden Terme an, die eine korrekte Umformung des gegebenen Terms sind! [2 aus 5] x4 · y– 1 · z3 (x – 2 · y 0,5) – 2 __ z – 3 x 4 · y – 1 _ z 6 z – 3 _ x – 4 · y x 4 · y – 1 · z – 3 1.11 Terme in Zeilenschreibweise Terme können auf unterschiedliche Arten geschrieben werden. AUFGABENSTELLUNG Ordnen Sie jedem Term in der linken Tabelle den entsprechenden Term (aus A bis D) zu! x – 3 – y _ 4 A (x – 3) : (4 – y) x – 3 _ 4 – y B x – (3 – y) : 4 C x–3:4–y D x – 3 : (4 – y) 1.12 Potenzen in Zeilenschreibweise Terme mit Potenzen können verschieden dargestellt werden. AUFGABENSTELLUNG Ordnen Sie jeder Schreibweise in der linken Tabelle die passende alternative Schreibweise (aus A bis D) zu! (ab)c A (a^b)^c a b _ c B a b + ac C a b : c D a^(b + a^c) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 Typ 1 Algebra und Geometrie 1.13 Äquivalente Terme mit Potenzen Gegeben ist der Term (x 3 · y · z – 5) – 1. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden Terme an, die zum gegebenen Term äquivalent sind! [2 aus 5] x – 3 · y – 1 · z 5 (x 6 · y 2 · z – 10) – 2 x 3 · y _ z 5 y – 1 _ x 3 · z 5 1 _ x 3 · y · z – 5 1.14 Äquivalente Gleichungen Gegeben ist die Gleichung a · (b – c) _ d =b–a. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden zur gegebenen Gleichung äquivalenten Gleichungen an! [2 aus 5] a = b d _ b – c – d b = a · a – d _ c – d b = a · c – d _ a – d c = b + d + b d _ a c = b + d (a – b) _ a (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können. AG-R 2.1 1.15 Preisänderung einer Ware 1 Eine Ware wird zuerst um 3 % verteuert und anschließend um 2 % verbilligt. Am Anfang kostet sie a Euro, am Ende b Euro. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie diejenige Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen a und b richtig beschreibt! [1 aus 5] b = 1,03 · a – 1,02 · a b = 1,03 · a – 0,98 · a b = 1,03 · a · 0,98 · a b = 1,03 · 0,98 · a b = 1,03 · 1,02 · a 1.16 Preisänderung einer Ware 2 Ursprünglich war der Preis einer Ware A Euro. Daraufhin wurde sie um p % verteuert, später um q % verbilligt. Dann wurde noch ein Rabatt von 10 % gewährt. Schließlich kostet die Ware E Euro. AUFGABENSTELLUNG Stellen Sie eine Formel für E auf! E = Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Typ 1 Algebra und Geometrie 1.17 Gewinn Der Einkaufspreis für einen Meter Breitbandkabel beträgt e Euro, der Verkaufspreis beträgt v Euro pro Meter. Der Gewinn G pro Meter beträgt x % von e. AUFGABENSTELLUNG Geben Sie eine Formel für x in Abhängigkeit von e und v an! 1.18 Brutto- und Nettopreis Ein Händler berechnet den Endpreis E einer Ware so: Auf den Nettopreis N schlägt er 20 % des Nettopreises als Mehrwertsteuer auf und erhält so den Bruttopreis B. Anschließend gewährt er einen Rabatt von 5 % des Bruttopreises und erhält so den Endpreis der Ware. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen N und E richtig wiedergibt! [1 aus 5] E = 1,2 · N – 0,05 · N E = N + 0,2 · N – 1 _ 20 · N E = 1,2 · N – 0,95 · N E = 1,15 · N E = N · 1,2 · 0,95 1.19 Selbstkostenpreis und Gewinn Ein Textilhändler kalkuliert den Selbstkostenpreis einer Winterjacke mit 48 €. Nach Aufschlag des Gewinns beträgt der Verkaufspreis netto (= Verkaufspreis ohne Mehrwertsteuer) 60 €. AUFGABENSTELLUNG Berechnen Sie, wie viel Prozent der Gewinn vom Selbstkostenpreis des Textilhändlers ausmacht! 1.20 Verkehrsunfälle Folgende Informationen über die Anzahl der Verkehrsunfälle in vier aufeinanderfolgenden Jahren liegen vor: 1. Jahr: a Verkehrsunfälle, davon p % mit Personenschaden 2. Jahr: b Verkehrsunfälle, davon q % mit Personenschaden 3. Jahr: c Verkehrsunfälle, davon r % mit Personenschaden 4. Jahr: d Verkehrsunfälle, davon s % mit Personenschaden AUFGABENSTELLUNG Stellen Sie eine Formel für die Gesamtzahl n der Verkehrsunfälle mit Personenschaden in diesen vier Jahren auf! n = 1.21 Meinungsumfrage Ein Meinungsforschungsinstitut führt jedes Jahr eine Untersuchung durch, bei der ein paar tausend Personen mittels Fragebögen zu aktuellen Aspekten aus Wirtschaft und Politik befragt werden. Heuer wurden 5 040 Fragebögen an das Institut zurückgeschickt. Das sind genau 30 % weniger, als ausgeschickt worden sind. AUFGABENSTELLUNG Drücken Sie den Zusammenhang zwischen der Anzahl a der ausgeschickten Fragebögen und der Anzahl z der zurückgeschickten Fragebögen durch eine Gleichung aus! Geben Sie dann an, wie viele Fragebögen vom Institut ausgeschickt worden sind! Gleichung: Anzahl der ausgeschickten Fragebögen: Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Typ 1 Algebra und Geometrie 1.22 Zinssatz gesucht Ein Kapital K0 wird bei einem Zinssatz von p % pro Jahr angelegt. Nach n Jahren beträgt die Höhe des verfügbaren Kapitals Kn . AUFGABENSTELLUNG Drücken Sie p durch K0 und Kn aus! 1.23 Bevölkerungswachstum 1 Eine Stadt hat heute 130 000 Einwohner. Exponentielles Bevölkerungswachstum vorausgesetzt, schätzt man die Einwohnerzahl der Stadt in 15 Jahren auf ca. 180 000 Personen. AUFGABENSTELLUNG Geben Sie an, wie groß der jährliche prozentuelle Zuwachs ist, der dieser Schätzung zugrunde liegt! 1.24 Bevölkerungswachstum 2 Eine Stadt hat heute x Einwohner. Der jährliche prozentuelle Zuwachs der Einwohnerzahl wird mit 3,5 % angenommen. AUFGABENSTELLUNG Geben Sie an, in wie vielen Jahren sich die Zahl der Einwohner verdreifachen würde! 1.25 Taxikosten Ein Taxiunternehmen berechnet die Kosten für eine Taxifahrt so: Der Grundpreis beträgt 3 €, jeder gefahrene Kilometer kostet 0,70 €. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die Formel an, welche zur Berechnung der Taxifahrtkosten T für n gefahrene Kilometer verwendet werden kann! [1 aus 5] T = 0,7 + 3 · n T = 3,7 · n T = 3 + 0,7 n T = 3 + 0,7 · n T = 3 · 0,7 n 1.26 Verdunstung in einem Gartenteich Verdunstung und Regen beeinflussen den Wasserstand eines Gartenteichs. An einem Sommermorgen enthält der Gartenteich 480 m3 Wasser. Im Sommer verdunsten im Lauf eines Tages durchschnittlich 5 % des jeweils in der Früh vorhandenen Wasservolumens. AUFGABENSTELLUNG Stellen Sie eine Formel auf, mit der man berechnen kann, welches Wasservolumen V (in m3) sich im Gartenteich befindet, wenn es in der Folge an n Tagen nicht regnet! V = 1.27 Abstand zweier Körper Zwei Körper starten vom gleichen Ausgangsort und bewegen sich auf einer geraden Bahn in dieselbe Richtung. Der erste Körper startet zum Zeitpunkt t = 0 und bewegt sich mit 30 m/s, der zweite Körper startet eine Sekunde später und bewegt sich mit 25 m/s. AUFGABENSTELLUNG Geben Sie eine Formel für den Abstand d (t) (in m) der beiden Körper für t º 1 an! d (t) = Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 Typ 1 Algebra und Geometrie 1.28 Elektroautos Eine Autofirma verkauft ein Elektroauto um e Euro. Die Landesregierung unterstützt den Kauf eines Elektroautos mit p % der Anschaffungskosten. Insgesamt wurden von der Firma im letzten Quartal a solche Autos verkauft. AUFGABENSTELLUNG Deuten Sie in diesem Zusammenhang die Terme a · e, p _ 100 ·eund p _ 100 ·a·e! Deutung von a · e: Deutung von p _ 100 · e: Deutung von p _ 100 ·a·e: 1.29 Preisnachlass Ein Möbelhersteller bietet einem Großhändler Kleiderschränke mit r % Preisnachlass an. Ein solcher Schrank kostete ursprünglich b €. Der Großhändler bestellt n Schränke. AUFGABENSTELLUNG Deuten Sie in diesem Zusammenhang die Terme r _ 100 ·bund(1 – r _ 100 ) · b · n! Deutung von r _ 100 · b: Deutung von (1 – r _ 100 ) · b · n: 1.30 Spam-Mails Ein E-Mail-Provider veröffentlicht für das erste Quartal eines Jahres diese Tabelle: Monat versendete E-Mails davon Spam-Mails Jänner a x % Februar b y % März c z % AUFGABENSTELLUNG Geben Sie eine Formel für die Zahl Z aller versendeten Spam-Mails im ersten Quartal an! Z = 1.31 Einnahmen bei einem Tennisturnier Der Preis für eine Tageskarte bei einem Tennisturnier beträgt für Erwachsene p Euro, Kinder zahlen davon die Hälfte. Vereinsmitglieder (Erwachsene oder Kinder) erhalten außerdem eine 20 %-ige Ermäßigung. AUFGABENSTELLUNG An einem Tag wird das Turnier von e Erwachsenen und k Kindern besucht, von denen e1 Erwachsene und k1 Kinder Vereinsmitglieder sind. Stellen Sie eine Formel für die Gesamteinnahmen E an diesem Tag auf! E = 1.32 Besucherzahlen Bei einer Veranstaltung wird die Anzahl E der Erwachsenen und die Anzahl K der Kinder gezählt. Dazu werden zwei unterschiedliche Behauptungen formuliert: Behauptung 1: Bei dieser Veranstaltung sind 48 Kinder mehr als Erwachsene. Behauptung 2: E = 3 · K AUFGABENSTELLUNG Können beide Behauptungen zugleich wahr sein? Begründen Sie die Antwort! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 Typ 1 Algebra und Geometrie 1.33 Gleichungen lösen Gegeben sind die beiden Gleichungen ( 1 _ 2 ) x = 8 und loga 16 = 4. AUFGABENSTELLUNG Ermitteln Sie die Unbekannten x und a! x = a = 1.34 Formel umformen 1 Gegeben ist die Gleichung x = m · (p – q) _ r · t . AUFGABENSTELLUNG Vervollständigen Sie die zur gegebenen Gleichung äquivalenten Gleichungen! m = p = 1.35 Formel umformen 2 Gegeben sind folgende Gleichungen: xu = v und r x = s (mit u, v, x, r, s * R+) AUFGABENSTELLUNG Drücken Sie aus jeder dieser beiden Gleichungen x durch die übrigen Variablen der Gleichung aus! 1. Gleichung: x = 2. Gleichung: x = 1.36 Formel umformen 3 Gegeben ist folgende Formel: a = b _ c · d x + 1 (mit a, b, c, d, x * R+) AUFGABENSTELLUNG Drücken Sie x durch die übrigen Variablen der Formel aus! x = 1.37 Definitions- und Lösungsmenge einer Gleichung Die größtmögliche Definitionsmenge D einer Gleichung in der Variablen x besteht aus allen reellen Zahlen x, für die die Terme auf der linken und rechten Seite der Gleichung definiert sind (dh. der Termwert jeweils berechnet werden kann). Die Lösungsmenge L der Gleichung besteht aus allen Zahlen x der Definitionsmenge, die die Gleichung erfüllen. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die Aussage an, die auf die Gleichung 12 (x 2 + 5 x) __ 8 x = 3 x + 15 _ 2 zutrifft! [1 aus 5] L = { } D = R* L = {0} L = R D = R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Typ 1 Algebra und Geometrie Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können. AG-R 2.2 1.38 Kostenaufteilung Die Kosten von €120 000 für die Renovierung eines Mehrfamilienhauses sollen auf die vier Eigentümer gemäß der jeweiligen Wohnungsgröße aufgeteilt werden. Die Wohnungen der Familien Arthold und Blaschek sind gleich groß, die Wohnungen der Familien Cermak und Dellinger sind jeweils um 50 % größer als die der Familie Arthold. AUFGABENSTELLUNG Berechnen Sie, wie hoch die Kosten für die vier Familien sind! Arthold: Cermak: Blaschek: Dellinger: 1.39 Umrechnung von Grad Fahrenheit in Grad Celsius Zur Umrechnung von c Grad Celsius in f Grad Fahrenheit kann man die Formel f = 1,8c + 32 benutzen. AUFGABENSTELLUNG Stellen Sie eine Formel auf, mit der man die Temperatur von f° Fahrenheit in c° Celsius umrechnen kann! Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können. AG-R 2.3 1.40 Lotrechter Wurf Eine kleine Kugel wird mit der Geschwindigkeit v0 m/s lotrecht nach oben geschossen. Ihre Höhe relativ zum Abschussort nach t Sekunden ist näherungsweise gegeben durch h(t) = v0 · t – 5 · t 2. AUFGABENSTELLUNG Geben Sie an, zu welchen Zeitpunkten sich die Kugel in 120 m Höhe über dem Abschussort befindet, wenn sie mit 50 m/s abgeschossen wird! 1.41 Quadratische Gleichung mit Parameter 1 Gegeben ist die Gleichung (x – 4)2 = c mit c * ℝ. AUFGABENSTELLUNG Ergänzen Sie durch Ankreuzen den folgenden Text so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht! Ist , dann besitzt die Gleichung . c < 0 die Lösung 0 c > 0 genau eine reelle Lösung c ≠ 0 zwei reelle Lösungen 1.42 Quadratische Gleichung mit Parameter 2 Gegeben ist die Gleichung 2 x2 +4x–3k=0. AUFGABENSTELLUNG Geben Sie alle Werte des Parameters k an, für welche die Gleichung genau zwei reelle Lösungen, genau eine reelle Lösung bzw. keine reelle Lösung hat! 1.43 Quadratische Gleichung mit Parameter 3 Gegeben ist die Gleichung a · x2 +4x–4=0(mita * R, a ≠ 0). AUFGABENSTELLUNG Ermitteln Sie alle Werte des Parameters a, für die die Gleichung keine Lösung in R hat! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 Typ 1 Algebra und Geometrie 1.44 Quadratische Gleichung mit Parameter 4 Gegeben ist die Gleichung (x – 3)2 = 5 + c (mit c * R). AUFGABENSTELLUNG Ergänzen Sie durch Ankreuzen den folgenden Text so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht! Ist , dann hat die Gleichung . c = – 5 nur die Lösung 0 c = – 10 keine Lösung c = 4 nur die Lösung 6 1.45 Quadratische Gleichung mit Parameter 5 Gegeben ist die Gleichung a · x2 = 2 · x (mit a ≠ 0). AUFGABENSTELLUNG Ermitteln Sie alle Lösungen der Gleichung in Abhängigkeit von a! 1.46 Quadratische Gleichung mit Parameter 6 Gegeben ist die Gleichung x2 +bx=0(mitb * R). AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden korrekten Aussagen an! [2 aus 5] Die Gleichung besitzt für jedes b * R höchstens eine Lösung. Die Gleichung besitzt für kein b * R genau eine Lösung. Es gibt ein b * R, für welches die Gleichung genau eine Lösung hat. Es gibt ein b * R, für welches die Gleichung keine Lösung hat. Die Gleichung besitzt stets die Lösung x = 0. 1.47 Quadratische Gleichung mit Parameter 7 Gegeben ist die Gleichung 2 x2 +4x+u=0mitu * R. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden korrekten Aussagen an! [2 aus 5] Die Gleichung hat genau zwei reelle Lösungen, wenn u < 2. Die Gleichung hat genau eine reelle Lösung, wenn u = 2. Die Gleichung hat keine reelle Lösung, wenn u ≠ 2. Die Gleichung hat die Lösungen x = 0 und x = 2, wenn u = 0. Die Gleichung hat die Lösung x = 1, wenn u = 2. 1.48 Quadratische Gleichung mit Parameter 8 Gegeben ist die Gleichung r · x2 + s · x + t = 0 mit r ≠ 0 und r, s, t * R. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden korrekten Aussagen an! [2 aus 5] Die Gleichung hat genau eine reelle Lösung, wenn s2 –4rt≠0. Die Gleichung hat keine reelle Lösung, wenn s2 –4rt<0. Die Gleichung hat genau zwei reelle Lösungen, wenn r 2 –4st>0. Die Gleichung hat mindestens eine reelle Lösung, wenn s2 –4rt>0. Die Gleichung hat höchstens eine reelle Lösung, wenn r 2 –4st<0. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 Typ 1 Algebra und Geometrie 1.49 Gleichung vom Grad 3 Gegeben ist folgende Gleichung: x3 – x = 0 AUFGABENSTELLUNG Geben Sie alle Lösungen dieser Gleichung an! 1.50 Falsches Lösen einer quadratischen Gleichung Jemand löst die Gleichung x2 + x = 0 so: x2 + x = 0 ‡ : x x + 1 = 0 x = – 1 AUFGABENSTELLUNG Begründen Sie, dass diese Vorgangsweise nicht korrekt ist! Geben Sie alle Lösungen dieser Gleichung an! Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können. AG-R 2.4 1.51 Lösungsmenge einer Ungleichung 1 Gegeben ist die Ungleichung 3 x + 4 < x – 2 für x * R. AUFGABENSTELLUNG Geben Sie die Lösungsmenge L der Ungleichung an und stellen Sie L auf der Zahlengeraden dar! L = –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 1.52 Lösungsmenge einer Ungleichung 2 Gegeben ist die Ungleichung x – 1 _ x > 2 (mit x * R*). AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die korrekte Lösungsmenge L dieser Ungleichung an! [1 aus 5] L = {x * ℝ ‡ x < – 1} L = {x * R ‡ x > 0 = x < – 1} L = {x * ℝ ‡ x < – 1 = x > 1} L = {x * ℝ ‡ x < – 1 ? x > 1} L = {x * R ‡ x > – 1 ? x < 0} 1.53 Temperaturmessung Die Temperatur einer Flüssigkeit (in °C) wurde korrekt gemessen und auf Einer gerundet mit 38° C angegeben. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, welche für die tatsächliche Temperatur T sicher zutreffen! [2 aus 5] T º 37,5 37,5 < T < 38,5 37,5 ª T ª 38,49 37,5 ª T < 38,5 37,5 < T ª 38,5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 Typ 1 Algebra und Geometrie 1.54 Sportmannschaft Eine Sportmannschaft soll aus einer großen Gruppe von Burschen und Mädchen zusammengestellt werden. Dabei gelten die folgenden drei Vorschriften: • Die Mannschaft soll mindestens 10 Mitglieder umfassen. • Die Mannschaft soll höchstens 15 Mitglieder umfassen. • In der Mannschaft sollen mindestens dreimal so viele Burschen wie Mädchen sein. Zwei dieser Vorschriften sind unten stehend jeweils durch eine Ungleichung beschrieben. Dabei wird die Anzahl der Burschen in dieser Mannschaft mit B und die Anzahl der Mädchen mit M bezeichnet. AUFGABENSTELLUNG Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Ungleichungen an! [2 aus 5] B + M º 10 B º 3 · M B + M º 15 B – 3 · M < 0 M º 3 · B Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können. AG-R 2.5 1.55 Herstellung einer Mischung Für ein Desinfektionsspray werden 3 ® einer 40 %igen Lösung des Wirkstoffs Purginol mit 7 ® einer 80 %igen Lösung desselben Wirkstoffs gemischt. AUFGABENSTELLUNG Berechnen Sie, wie hoch der prozentuelle Wirkstoffanteil der hergestellten Mischung ist! prozentueller Wirkstoffanteil der Mischung = % 1.56 Gleichungssystem 1 Gegeben ist ein Gleichungssystem mit zwei linearen Gleichungen in den Variablen x und y. AUFGABENSTELLUNG Fügen Sie der folgenden Gleichung eine zweite lineare Gleichung in x und y hinzu, sodass die Lösungsmenge des entstehenden Gleichungssystems unendlich viele Zahlenpaare enthält! { 2x–5y=12 1.57 Gleichungssystem 2 Gegeben ist ein Gleichungssystem mit zwei linearen Gleichungen in den Variablen u und v. AUFGABENSTELLUNG Fügen Sie der folgenden Gleichung eine zweite lineare Gleichung in u und v hinzu, sodass die Lösungsmenge des entstehenden Gleichungssystems leer ist! {3u–v=1 1.58 Gleichungssystem 3 Gegeben ist ein Gleichungssystem mit zwei linearen Gleichungen in den Variablen r und s. AUFGABENSTELLUNG Fügen Sie der folgenden Gleichung eine zweite lineare Gleichung in r und s hinzu, sodass das entstehende Gleichungssystem die Lösungsmenge {(1 1 1)} besitzt! {3r – 2s = 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 Typ 1 Algebra und Geometrie 1.59 Gleichungssystem 4 Gegeben ist das nachstehende Gleichungssystem: { 3x–2y=4 –6x+4y=c AUFGABENSTELLUNG Ermitteln Sie alle Zahlen c * R, für die das Gleichungssystem keine Lösung hat! 1.60 Gleichungssystem 5 Gegeben ist das nachstehende Gleichungssystem: { 4x+by=1 –6x+ y=–1 AUFGABENSTELLUNG Ermitteln Sie alle Zahlen b * R, für die das Gleichungssystem keine Lösung hat! 1.61 Gleichungssystem 6 Gegeben ist ein Gleichungssystem mit zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen. { 4x– 9y=12 x + y = – 8 AUFGABENSTELLUNG Ergänzen Sie die fehlenden Koeffizienten so, dass das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat! 1.62 Gleichungssystem 7 Gegeben ist folgende grafische Darstellung: x y 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 AUFGABENSTELLUNG Geben Sie ein dieser Grafik entsprechendes lineares Gleichungssystem mit den Variablen x und y sowie die Lösung dieses Gleichungssystems an! Gleichungssystem: Lösung: Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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• Optimale Vorbereitung auf die neue Reifeprüfung • Mathematik in verständlicher Sprache • G ezielte Aufgaben zu den Grundkompetenzen und Vertiefungen • Zahlreiche Möglichkeiten zur Selbstkontrolle Mathematik verstehen, Maturatraining Schulbuchnummer 175037 ISBN 978-3-209-12372-5 zu dem Schulbuch Mathematik verstehen OS SB 8 + E-Book Schulbuchnummer 195131 ISBN 978-3-209-12364-0 Mathematik verstehen OS SB 8 mit E-BOOK+ Schulbuchnummer 200195 ISBN 978-3-209-12368-8 www.oebv.at ISBN 978-3-209-12371-8 12372-5
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