Lösungen zu den Untersuche-Aufgaben 10.1 Bahngeschwindigkeit bei einer geschätzten Umlaufzeit von: T ≈ 0,01 s: v = (2 π·r)/T ≈ 6,3·10 7 m/s ≈ 0,21 c(etwa 21 % der Lichtgeschwindigkeit) Berechnung mit dem 3. Kepler’schen Gesetz: T 2/r 3 = 4 π 2/(G·M) (wobei M = 2·30 Sonnenmassen, da wir von einem Schwerpunktsystem ausgehen) Daraus folgt: T ≈ 22,3 msund v ≈ 2,8·10 8 m/s ≈ 0,94 c (Achtung: Es handelt sich um sehr vereinfachte Berechnungen, die lediglich die Größenordnungen widerspiegeln sollen!) 12.1 Wenn der Ball quer zur Bewegung angeblasen wird, wirkt eine Kraft auf ihn. Die Bewegung des Balls ändert sich sowohl in Richtung des Luftstoßes als auch durch seine ursprüngliche Bewegung. Die Wirkung des Luftstoßes hängt von der Impulsübertragung ab: Δp = F·Δt Heftiges Pusten (hohe Kraft F in kurzer Zeit): Ein kurzer, starker Luftstoß überträgt schnell eine große Impulsänderung. Dies kann den Ball abrupt in eine neue Richtung lenken, ist jedoch schwerer präzise zu kontrollieren. Sanftes Blasen (niedrige Kraft F für längere Zeit): Ein sanfter Luftstoß überträgt den Impuls langsamer, sodass der Ball sanft seitlich abgelenkt wird. Dies bietet mehr Kontrolle, aber weniger Effektivität, falls der Ball eine starke Richtungsänderung benötigt. 13.2 Weiches Aufsetzen (blaue Kurve): Die Kraft nimmt allmählich zu und erreicht ein Maximum von etwa 1050N nach ca. 0,2s. Der Anstieg ist langsamer, was auf eine gleichmäßigere Belastung hinweist. Die Gelenke werden geschont, da die Kräfte weniger stark und gleichmäßiger verteilt sind. Hartes Aufsetzen (rote Kurve): Die Kraft steigt sehr schnell an und erreicht nach ca. 0,08s ein Maximum von etwa 1900N. Es gibt eine zweite Kraftspitze bei ca. 0,17 s. Der abrupte Kraftanstieg deutet auf eine stärkere Belastung der Gelenke und des Bewegungsapparats hin. Beim harten Aufsetzen sind die maximalen Kräfte fast doppelt so hoch wie beim weichen Aufsetzen und erhöht dadurch auch das Verletzungsrisiko. 13.3 a) Um die Dauer des Stoßes zu berechnen, betrachten wir die Zeitspanne, in der die Kraft ungleich null ist: Der Stoß beginnt bei etwa 7 ms und endet bei etwa 27 ms. Die Dauer des Stoßes beträgt daher ca. 20 ms. b) Die maximale Kraft ist der höchste Wert der Kraftkurve und beträgt etwa 105 N. 15.1 a) Geschwindigkeiten nach dem elastischen Stoß: v 1 ′ = m 1 − m 2 __ m 1 + m 2 ·v 1 = 0und v 2 ′ = 2 m 1 __ m 1 + m 2 ·v 1 = v 1 (für m 1 = m 2 und v 2 = 0) Beispielmerksatz: Wenn zwei Körper gleicher Masse elastisch zusammenstoßen, wobei einer davon anfangs ruht, kommt der bewegte Körper nach dem Stoß zum Stillstand, und der ruhende Körper übernimmt seine Geschwindigkeit. b) Wenn m 2 kleiner wird, behält der erste Körper (v 1 ′) immer mehr seiner ursprünglichen Geschwindigkeit. Der zweite Körper (v 2 ′) wird zunehmend schneller, bis er bei sehr kleinen m 2 fast die doppelte Geschwindigkeit (2 v 1) erreicht. 16.1 a) Anfangs bewegt sich nur der Schläger (v 1). Elastischer Stoß mit v 2 ′ = 50 m/sals Endgeschwindigkeit für den Ball: v1 = m 1 + m 2 __ 2 m 1 ·v 2 ′ = 420 kg _ 720 kg ·50 m _ s ≈ 29,2 m/s ≈ 105 km/h Die Schlagfläche muss eine Geschwindigkeit von etwa 105 km/h haben. b) Der Schläger überträgt innerhalb 2 ms auf den Ball den Impuls m 2·v 2 ′ = F 1·Δt. Die Kraft, die auf den Schläger wirkt, ist somit: F 1 = 0,06 kg·50 m/s ___ 0,002 s = 1 500 N Mögliche Schädigungen: Muskelüberdehnungen, Sehnenentzündungen (Tendinitis), Tennisarm (Epikondylitis), Gelenkverschleiß 16.2 a) Beim unelastischen Stoß bleibt der Impuls erhalten. Die Erhaltung des Impulses lautet: m 1·v 1 + m 2·v 2 = (m 1 + m 2)·v′; nach Einsetzen von v 2 = 0 und m 1 = m 2 folgt für die gemeinsame Endgeschwindigkeit: v ′ = v 1/2 Kinetische Energie nach dem Stoß: E kin ′ = 1 _ 2 (m 1 + m 2)·v ′ 2 = m 1·v 1 2/4 Bruchteil: E kin ′ /E 1,kin = ( 1 _ 4 m 1 ·v 1 2)/( 1 _ 2 m 1·v 1 2) = 1/2 Beispielmerksatz: Wenn zwei Körper gleicher Masse unelastisch zusammenstoßen, wobei einer davon anfangs ruht, bewegen sich beide Körper nach dem Stoß mit der halben Geschwindigkeit des ursprünglich bewegten Körpers. Die Hälfte der anfänglichen kinetischen Energie bleibt als Bewegungsenergie erhalten. b) für m 1 « m 2 und v 2 = 0gilt: v ′ ≈ m 1 _ m 2 ·v 1 und E kin ′ ≈ 1 _ 2 m 2·v ′ 2 = 1 _ 2 · m 1 2·v 1 2 _ m 2 Bruchteil: E kin ′ /E 1,kin = ( 1 _ 2 · m 1 2·v 1 2 _ m 2 )/( 1 _ 2 m 1·v 1 2) = m 1/m 2 Beim unelastischen Stoß eines Körpers gegen einen viel massiveren ruhenden Körper bleibt nur ein Bruchteil von m 1/m 2 der anfänglichen kinetischen Energie als Bewegungsenergie übrig. Der Rest geht in die restliche innere Energie U in Form von Wärme- und Deformationsenergie über. 16.3 a) Sicherheitsgurt: Reduktion der Bewegungsenergie bis zum absoluten Haltepunkt, Verlängerung der Verzögerungszeit, optimale Positionierung des Körpers Airbag: Kraftverteilung auf eine größere Fläche, Stoßdämpfung, Vermeidung von direkten Kopfverletzungen b) Aufgrund der hohen Masse (mehrere Tonnen) ist der Bremsweg einer Straßenbahn deutlich länger und Kollision weniger spürbar. Deshalb ist die Verletzungsgefahr für Insassen (im Sitzen oder Stehen beim Halten an Haltegriffen/-schlaufen) eher gering. Bei PKWs sorgen moderne Sicherheitssysteme (z. B. ABS) für kürzere und kontrollierte Bremswege. Dennoch ist die Gefahr bei Kollisionen (oder sonstigen Unfällen) für Insassen höher. Deshalb sind Sicherheitsgurte, Kindersitze und Airbags zwingend notwendig! 21.1 Die Bahngeschwindigkeit v eines Punktes hängt vom Radius r von der Drehachse und der Winkelgeschwindigkeit ω ab: v = ω·r; Da der Radius r nahe der Nabe (Drehachse) klein ist, ist die Bahngeschwindigkeit der dort angebrachten Buchstaben geringer. 21.2 Wenn sich das Massestück im tiefsten Punkt (direkt unter der Achse) befindet, ist das Gleichgewicht stabil. Es gibt kein Drehmoment, das eine Bewegung verursacht. Die potenzielle Energie des Massestücks ist am höchsten, wenn es sich oberhalb der Achse (höchster Punkt) befindet. Beim Herabfallen wird diese potenzielle Energie in Rotationsenergie (höchstes Drehmoment) des Rades umgewandelt. 23.1 a) Schere (zweiarmig): Der Drehpunkt befindet sich an der Achse, an der die beiden Scherenteile verbunden sind. Die Griffe der Schere bilden die Kraftarme, die Schneiden sind die Lastarme. Funktionsweise: Eine kleine Kraft am Griff erzeugt eine (größere) Kraft an der Schneide, um Materialien wie Papier oder Stoff zu schneiden. Flaschenöffner (einarmig): Der Drehpunkt befindet sich am Rand der Flasche. Der Griff des Öffners bildet den Kraftarm, der kurze Hebel, der unter den Kronkorken greift, ist der Lastarm. Funktionsweise: Eine kleine Kraft am Griff hebt den Kronkorken ab. b) Pedale (zweiarmig): Der Drehpunkt befindet sich an der Tretlagerachse. Der Abstand von der der Achse bis zum Pedal, an der der Fuß die Kraft ausübt, entspricht dem Kraftarm, der Berührpunkt der Kette mit dem Kettenblatt, das die Kette antreibt, ist der Lastarm, der die ausgeübte Kraft in eine Drehbewegung umwandelt. Funktionsweise: Die Kraft des Fußes wird auf die Kurbel übertragen, die das Kettenblatt dreht und durch die Kette die Drehbewegung auf das hintere Rad überträgt. Weiters: Bremshebel (zweiarmig), Gangschalthebel (zweiarmig) Erklärung – Kettengetriebe: Übersetzung: Das Kettengetriebe wandelt die Kraft, die durch die Pedale auf das Kettenblatt ausgeübt wird, in eine Bewegung des Hinterrads um. Übersetzung: Zähne am Kettenblatt/Zähne am Ritzel Großes Kettenblatt/kleines Ritzel (große Übersetzung) erhöht die Maximalgeschwindigkeit, aber benötigt eine erhöhte Tretkraft. Kleines Kettenblatt/großes Ritzel benötigt eine geringere Tretkraft, aber verringert die Geschwindigkeit. (kleine Übersetzung) c) Das entstehende Drehmoment am Tretlager/Kurbel: M Kurbel = F Pedal·r Kurbel = (m·g)·r Kurbel und im Idealfall gilt (ohne Verluste durch Reibung etc.): M Hinterrad = M Kurbel/Übersetzung(Je größer die Übersetzung, desto kleiner wird das Drehmoment am Hinterrad.) Für die Kraft, mit der das Hinterrad horizontal auf die Straße wirkt, gilt: F Hinterrad = M Hinterrad/r Rad (wobei r Rad der Radius des Hinterrads ist.) Typische Werte bei 70 kg Fahrergewicht und 0,35 m Hinterradradius: Üblich: 50–200 N; (Hobby-)Sportler mit Rennrad: bis zu 1 000 N. 23.2 Ein Lineal wird quer auf einen Finger gelegt, so dass es in Balance bleibt und nicht herunterfällt. Dabei wird der Finger unter das Lineal verschoben, bis der Schwerpunkt erreicht ist, an dem das Lineal ausbalanciert bleibt. Das Drehmoment links vom Finger muss gleich dem Drehmoment rechts vom Finger sein, um ein Gleichgewicht zu erreichen/halten. 24.1 Die Balancierstange erhöht das Trägheitsmoment (größerer Widerstand gegen Kippbewegungen wegen der vom Schwerpunkt horizontal verteilten Masse), senkt den Schwerpunkt (ermöglicht ein stabileres Gleichgewicht), hilft durch Gegenbewegungen (Feinregulation) zur besseren Stabilisation. 25.1 a) Die mechanische Energie des Systems bleibt erhalten: E = E pot = mgh = E trans + E rot Mit der Translationsenergie E trans = 1 _ 2 m v 2 und der Rotationsenergie E rot = 1 _ 2 I ω 2 Das Trägheitsmoment unterscheidet sich für die beiden Walzen: Vollwalze: I = 1 _ 2 m r 2; Hohlwalze: I = m r 2; Da beide Walzen die gleiche potentielle Energie besitzen, wird die Hohlwalze einen größeren Anteil ihrer Energie in Rotationsenergie umwandeln, was ihre Translationsgeschwindigkeit verringert. Die Vollwalze ist daher schneller. Vergleich – Tischtennisball und Superball: Der Tischtennisball hat eine geringere Dichte und damit eine andere Massenverteilung. Dadurch ist sein Trägheitsmoment relativ zur Masse größer als das des Superballs. Der Superball wandelt 128 f588ds Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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