Die Zunahme der inneren Energie nach dem Stoß entspricht deshalb der gesamten kinetischen Energien beider Fahrzeuge vor dem Stoß: U ′ − U = ΔU = m·v 2 = E kin Situation b): Ein Fahrzeug fährt mit der Geschwindigkeit 2v gegen ein ruhendes. p ′ =2 m·v ′ = 2m·v = p ⇒ v ′ = v Beide Fahrzeuge bewegen sich zusammen mit v (in Richtung des bewegten Fahrzeuges vor dem Stoß) weiter! Die Zunahme der inneren Energie nach dem Stoß entspricht deshalb der halben kinetischen Energien vor dem Stoß: U ′ − U = ΔU = m·v 2 = E kin _ 2 2a) p 1 = m 1·v 1 = 0,45 kg·30 m/s = 13,5 kg·m/s Da der Ball gestoppt wird, ist dies der gesamte Impuls, der auf die Torhüterin übertragen wird. b) F = Δp _ Δt = 13,4 kg·m/s __ 0,1 s = 134 N 3 F R = 7 kg _ 1 s ·20 m/s = 140 kg·m/s 2 = 140 N 2 Drehimpuls, S. 29 Teste dein Wissen 1 Da das Kind leichter ist als beide Elternteile zusammen, übt es eine kleinere Kraft auf die Wippe aus. Um das Drehmoment nun zu vergrößern und damit die Eltern (Last) hochbringen zu können, muss das Kind (Kraft) entsprechend weiter von der Drehachse entfernt sitzen: 2 ausführliche Antwort im digitalen Zusatzmaterial 3c) Sie steht senkrecht zur Bahngeschwindigkeit. 4b) v = r· ω 5c) ω = 2πf 6b) M = I· α 7c) E = I·ω 2 _ 2 8c) L = I· ω 9b) ∆ L _ ∆ t = M 10c) Mehrere Tausend Jahre 11 Beispielantwort: Lege das Ei vorsichtig auf eine glatte Oberfläche und versetze es in eine Drehung. Rohes Ei: Ein rohes Ei wird sich beim Drehen unregelmäßig und langsamer bewegen. Das liegt daran, dass das flüssige Innere des Eis beim Drehen eine gewisse Trägheit besitzt und nicht sofort mit der Schale mitrotiert. Gekochtes Ei: Ein gekochtes Ei dreht sich hingegen gleichmäßig und ruhig. Da alle Bestandteile fest sind, gibt es keine inneren Bewegungen, die die Rotation stören würden und das Innere des Eis bewegt sich somit mit der Schale mit. Rechenaufgaben 1a) ω = 2π·f ≈ 838 s−1 b) α = Δω _ Δt = 838 s −1 − 0 s −1 __ 120 s ≈ 6.98 s −2 2a) ω = 2π·f ≈ 419 s−1 b) α = Δω _ Δt = 0 s −1 − 419 s −1 __ 8 s ≈ 52,4 s −2 c) f A + f E _ 2 ·Δt = 66,67 s −1 + 0 s −1 ___ 2 ·8 s ≈ 266,7 Umdrehungen 3a) E kin = 1 _ 2 m E v Bahn 2 = 1 _ 2 ·(6·10 24 kg)·(2.986·10 4 m/s) 2 ≈ 2.67·10 33 J b) E rot = 1 _ 2 ·10 38 kg·m 2·(7.27·10 −5 s −1) 2 ≈ 2,6·10 29 J 4 E rot = 1 _ 2 ·(3,92·10 47 kg·m 2)·(2,91·10 −6 s −1) 2 ≈ 1,66·10 36 J Mechanische Schwingungen und Wellen 1 Mechanische Schwingungen, S. 43 Teste dein Wissen 1b) Von der Masse und c) Von der Federkonstante der Feder. 2c) Von der Entfernung vom Erdmittelpunkt 3a) Die Schwingungsdauer bleibt gleich, da diese näherungsweise von der Amplitude unabhängig ist (kleine Auslenkungen vorausgesetzt). b) Die Schwingungsdauer bleibt gleich, da sie unabhängig von der Masse ist. c) Die Schwingungsdauer wird größer, da T α √ _ l . Eine Verdopplung der Länge führt zu einer um √ _ 2-fach längeren Schwingungsdauer. 4a) ca. 1 m. 5a) Das Fadenpendel bleibt in der Position ruhen, in die man es ausgelenkt hatte, weil der Pendelkörper im schwerelosen Raum keine Gewichtskraft F = m·g und deshalb keine Beschleunigung erfährt. 6 Du brauchst: Faden oder dünne Schnur, einen kleinen Gegenstand (Metallkugel, Stein, Radiergummi), Stoppuhr. Mithilfe der Stoppuhr kannst du die Schwingungsdauer T deines Fadenpendels messen. Den gemessenen Wert für T kannst du samt Fadenlänge l in die nach g umgeformte Formel einsetzen, um die Fallbeschleunigung annährend zu bestimmen: g = 4 π 2·l _ T 2 Du kannst das Ergebnis verbessern, indem du T mehrfach misst, den Mittelwert berechnest und in die obige Formel einsetzt. 7b) Das Pendel benötigt für den längeren Weg mehr Zeit. 8b) Am Nordpol 9 In beiden Fällen betrachten wir den Idealfall, wo beide Schwingungen die gleiche Frequenz, gleiche Richtung und gleiche Amplituden haben. a) Auslöschung (destruktive Interferenz) tritt dann auf, wenn sich die Schwingungen mit einer Phasendifferenz von α = π (gegenphasig) überlagern. b) Verstärkung (konstruktive Interferenz) tritt dann auf, wenn sich die Schwingungen mit einer Phasendifferenz von α = 0 bzw. α = 2π (gleichphasig) überlagern. 10 Beispielantwort im digitalen Zusatzmaterial 11 Beispielantwort: Resonanz tritt auf, wenn ein schwingendes bzw. schwingfähiges System von einer äußeren, periodischen Kraft mit einer (Erreger-)Frequenz angeregt wird, die gleich oder nahe der Eigenfrequenz liegt. Dies führt zu einer starken Amplitudenerhöhung. Im schlimmsten Fall kann dies bei geringer Dämpfung zur Zerstörung des Systems führen („Resonanzkatastrophe“). Rechenaufgaben 1 Die Geschwindigkeit ist am größten beim Durchgang y(t) = 0 durch die Gleichgewichtslage. Die Beschleunigung hat ihren größten Wert in den Umkehrpunkten. 2 y(0,01 s) = 0,1 m·sin(2π·20 s−1·0,01 s) ≈ 0,1 m·0,95 = 0,095 m 3a) T = 2π √ __ l _ g = 2π √ ______ 67 m __ 9,81 m/s2 ≈ 16,42 s b) Das Foucault’sche Pendel zeigt die Drehung der Erde, weil die Ebene, in der das Pendel schwingt, ihre Orientierung im Raum beibehält (Trägheit), während die Erde darunter rotiert. Die sogenannte Corioliskraft lässt die Schwingungsebene des Pendels scheinbar rotieren. Die Corioliskraft und damit auch die Drehgeschwindigkeit der Schwingungsebene hängt von der geographischen Breite auf der Erde ab. Am Nord- und Südpol ist sie am stärksten („nur“ 24 Stunden für eine vollständige Umdrehung). Genau am Äquator ist diese gleich null und somit dreht sich dort die Schwingungsebene nicht. 4 l = 9,81 m/s2 __ (2π·1 s −1) 2 ≈ 0,25 m 2 Mechanische Wellen, S. 71 Teste dein Wissen 1 Longitudinalwellen: Schwingungsrichtung der Teilchen (Oszillatoren) und Ausbreitungsrichtung stimmen überein. Beispiel: Schallwellen in Luft. Transversalwellen: Schwingungsrichtung der Teilchen (Oszillatoren) steht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Beispiel: Wasserwellen, elektromagnetische Wellen. 2 Ja, es ist möglich. Wir nennen dies destruktive Interferenz. Sie tritt auf, wenn sich zwei Wellen überlagern, die gleiche Amplitude haben und in Gegenphase schwingen (Phasendifferenz von α = π). Für eine vollständige Auslöschung sollten sie die gleiche Frequenz und (oder entgegengesetzte) Ausbreitungsrichtung besitzen. Bei stehenden Wellen (entgegengesetzte Ausbreitungsrichtung) löschen sich die hin- und rücklaufenden Wellen an einzelnen Punkten, den sogenannten Knoten, vollständig aus. 3 Im Allgemeinen entstehen Wellen, wenn schwingende Teilchen (Oszillatoren) ihre Schwingungsenergie an benachbarte Teilchen weitergeben. Mechanische Wellen, Wasserwellen, Erdbebenwellen und Schallwellen entstehen, wenn viele gleichartige Oszillatoren aneinander gekoppelt sind und ein Oszillator in Schwingung versetzt wird. Dann überträgt sich die Schwingungsenergie auf die anderen Oszillatoren. Man unterscheidet zwischen longitudinalen (Schwingung in Ausbreitungsrichtung) und transversalen (Schwingung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) Wellen. 4b) 4 5c) Energie 6 Die Energie E der harmonischen Welle ergibt sich aus der Summe der Energien der einzelnen Oszillatoren und ist daher proportional dem Quadrat der Amplitude und dem Quadrat der Frequenz ( ω = 2πf): E = m·y 0 2·ω 2 __ 2 7a) die Wellenlänge und b) die Ausbreitungsgeschwindigkeit 8 Zwei Wellen sind „in Phase“, wenn ihre Schwingungsmaxima und -minima zeitlich und räumlich übereinstimmen. Dies führt zu konstruktiver Interferenz: Wenn zwei Wellen gleicher Amplitude und Frequenz in Phase sind und sich überlagern, verstärken sie sich gegenseitig. Die Amplitude der resultierenden Welle ist doppelt so groß wie die der einzelnen Wellen. Phasenunterschied bei gleichphasigen Wellen: Δ φ = n·2π, wobei n = 0, 1, 2, 3, … 9 Beispielantwort im digitalen Zusatzmaterial 10 Beispielantwort im digitalen Zusatzmaterial 11 Die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C beträgt ca. 340 m/s, in Wasser liegt sie etwa bei 1483m/s, in Eisen bei 5180m/s. Sie ist unabhängig von der Frequenz der Schallwelle und wächst mit steigender Temperatur. 131 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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