Wählt man den Blendendurchmesser d in der Kathodenstrahlröhre von der Größe der de Broglie-Wellenlänge, kann man wegen der Beugung nicht vorhersagen, wo einzelne Elektronen am Bildschirm auftreffen werden (109.2, 109.3). Je genauer man festlegen will, von wo die Elektronen ausgehen, desto breiter wird das Beugungsbild. Die Elektronen haben nun Geschwindigkeitskomponenten quer zur Strahlrichtung. Es ist unmöglich, einen Elektronenstrahl so zu erzeugen, dass gleichzeitig ein genau bestimmter Ort und eine genau bestimmte Geschwindigkeit der Elektronen gemessen werden können. Dies führt uns auf die Heisenberg’sche Unschärferelation, deren quantitative Formulierung ein Gedankenexperiment plausibel machen soll. Dazu wird die Beugung eines Elektronenstrahls an einem Einzelspalt der Breite d betrachtet (109.4). Damit ist am Spalt der Ort einzelner Elektronen nur mit einer Unschärfe Δx = d bestimmt. Der Winkel α, bei dem das erste Beugungsminimum auftritt, ist durch sin( α) = λ/d gegeben. Elektronen in diesem Winkelbereich erzeugen auf dem Schirm (Detektor) die zentrale Beugungsscheibe. Die Ψ-Funktion bestimmt, wo die Elektronen zufällig auftreffen. Dementsprechend gehorchen auch die Impulse px der Elektronen quer zur ursprünglichen Strahlrichtung einer Zufallsverteilung, sie streuen mit der Größenordnung Δpx um den Mittelwert Null. Δpx ergibt sich größenordnungsmäßig zu Δpx ≈ p·sin( α) = p·λ/d = (h/ λ)·( λ/d) = h/d. Wenn es gelingt, den Ort der Elektronen mit einer Ortsunschärfe Δx = d festzulegen, entsteht eine Impulsunschärfe Δpx der Größenordnung h/ Δx. Heisenberg’sche Unschärferelation Ort und Impuls von Teilchen können nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit bestimmt werden. Für das Produkt aus Ortsunschärfe Δx und Impulsunschärfe Δpx gilt Δx·Δpx ≈ h. Diese Relation wurde für die Ortsfestlegung quer zur Ausbreitungsrichtung abgeleitet. Sie gilt jedoch allgemein für jede Richtung. Damit wurde eine prinzipielle und nicht unterschreitbare Schranke für die Genauigkeit gefunden, mit der Ort und Impuls eines Quantenobjekts gleichzeitig bestimmt werden können. Sie kann nicht durch genauere Messungen unterschritten werden. Diese Einschränkung revolutioniert die Grundlagen der Physik. Der französische Mathematiker Pierre Simon de Laplace (1749–1827) träumte einst von der Berechenbarkeit der Natur: „… ein Geist, der alle Kräfte der Natur kennen würde und für einen Augenblick die Lage und die Geschwindigkeit aller Teilchen, aus denen die Natur besteht, erfassen könnte und genügend groß wäre, alle diese Daten einer Rechnung zu Grunde zu legen, könnte die Bewegung aller Körper des Weltalls vorhersagen. Für ihn würde nichts unbestimmt sein …“. Dieser Traum der klassischen Mechanik ist ausgeträumt, da wir wegen der Unschärferelation prinzipiell niemals den Ort und die Geschwindigkeit einzelner Teilchen exakt erfassen können. Deshalb ist auch das weitere Geschehen nicht mit Bestimmtheit vorhersagbar. Wir können nur Aussagen über das statistische Verhalten sehr vieler gleicher Quantenobjekte machen, also z. B. darüber, welches Beugungsmuster sie erzeugen werden. 109.1 Elektronen aus der Elektronenquelle der Kathodenstrahlröhre werden durch Hochspannung zur Anode beschleunigt. Sie passieren als Strahl das Loch in der Anode und erzeugen auf dem Bildschirm einen Lichtpunkt. Elektronenquelle y-Ablenkung Elektronenstrahl Lichtpunkt Wehneltzylinder Anode x-Ablenkung 109.2 Sinkt der Durchmesser der Blendenöffnung auf die Größenordnung einer Wellenlänge (rechtes Bild), so fächert die Beugung den Strahl auf, wie ein Versuch mit Wasserwellen zeigt. 109.3 Zentrale Beugungsscheibe mit Nebenmaxima einer kreisförmigen Lochblende. 109.4 Ein Elektronenstrahl wird an einem Spalt gebeugt. Hinter dem Spalt laufen die Teilchen auseinander: Die Richtungen ihrer Impulse sind nicht exakt vorhersagbar. Sie weisen eine Impulsunschärfe Δpx auf. Der Radius des ersten Beugungsscheibchens dient zur Abschätzung der Impulsunschärfe. Detektor p 109 Quantenphysik 2 Grundideen der Quantenphysik Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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