3.2 Quantisierung der Energie – stehende Wellen Wie lässt sich verstehen, dass physikalische Systeme bestehend aus Atomkern und Elektronen, also Atome, nur bestimmte Energien besitzen können? Die Quantenmechanik beantwortet diese Frage. Auf Schulniveau können wir allerdings nur ein qualitatives Verständnis mittels Analogien anstreben. Dabei nutzen wir, dass nicht nur Licht, sondern auch Materie Teilchen- und Welleneigenschaften zeigt. Daher vergleichen wir Atome mit schwingungsfähigen Gebilden wie gespannten Saiten oder schwingenden Membranen. Elektronen als Wellen Wenn Licht nicht nur Welleneigenschaften, sondern auch Teilcheneigenschaften hat, warum sollen Elektronen nicht neben Teilchen- auch Welleneigenschaften haben? Im Jahr 1923 stellte der französische Physiker Louis de Broglie (1892–1987) in seiner Doktorarbeit eine kühne Hypothese auf, für die er zunächst keine Beweise hatte: Materie verhält sich unter gewissen Bedingungen wie eine Welle. Die typischen Eigenschaften von Wellen, nämlich Beugung und Interferenz, wurden in zahlreichen Experimenten mit Elektronen, Atomen und auch großen Molekülen nachgewiesen (siehe S. 108). Die ersten Beugungsbilder mit Elektronen wurden an Kristallen aufgenommen, sie entsprechen Beugungsbildern mit Röntgenlicht (121.1 und 121.2). Man spricht daher von Materiewellen. Was schwingt in einer Materiewelle? Ist es die Masse, ist es die elektrische Ladung? Die Ergebnisse zahlreicher Experimente lassen sich nur so verstehen: Zu jeder Materiewelle gehört eine mathematische Funktion, die sog. Wellenfunktion Ψ (Psi-Funktion), welche die Ausbreitung der Welle im Raum beschreibt und in der Regel zeitabhängig ist. Das Besondere an ihr ist, dass ihre Intensität Ψ 2 die Wahrscheinlichkeit angibt, das Elektron an einem bestimmten Ort zu finden. Stehende Wellen treten auf, wenn das Ausbreitungsgebiet einer Welle wie z. B. bei schwingenden Saiten begrenzt ist. Bei einer schwingenden Saite der Länge L befinden sich an den Enden Schwingungsknoten. Die einfachsten stehenden Wellen sind die Eigenschwingungen, bei denen die Saite in einer einheitlichen Frequenz, der Eigenfrequenz, schwingt (121.3). Für die entsprechenden Wellenlängen gilt: L = n· λn_ 2 , also λn = 2L/n (n = 1, 2, 3, …) Mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Wellen ergeben sich die Eigenfrequenzen der gespannten Saite zu fn = c _ λn = n· c _ 2L , (n = 1, 2, 3, …) Der größten Wellenlänge λ1 = 2L entspricht daher die niedrigste Frequenz f1 = c _ 2L In der Quantenphysik hängen Energie und Frequenz über die Beziehung E = h·f zusammen. Die Eigenschwingungen der Saite entsprechen daher Zuständen mit eindeutigen Energiewerten En = h·fn (fn sind Frequenzen der schwingenden Saite). Worin besteht die Analogie zwischen der schwingenden Saite und dem an den Atomkern gebundenen Elektron, worin unterscheiden sie sich? Unterschiedlich ist: Bei der eingespannten Saite schwingen ihre materiellen Teile. Im Atom schwingt die Wellenfunktion Ψ des an den Kern gebundenen Elektrons, die Intensität Ψ 2 bestimmt die räumliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons. Den Eigenschwingungen der Saite entsprechen die Eigenschwingungen der Wellenfunktion Ψ, deren Eigenfrequenzen entsprechen den diskreten Energiewerten der Elektronen. 121.1 Die Beugung von Röntgenstrahlen an einer Aluminiumfolie gleicht … 121.2 … der Beugung von Elektronen an derselben Folie. 121.3 Die Eigenschwingungen einer Saite sind stehende Wellen. Durch geeignete Anregung werden Grundschwingung und Oberschwingungen erzeugt. (Im Experiment ersetzt ein Gummiband die Saite.) L Gummischlauch Faden Motor mit Exzenter 3· f0 2· f0 f0 121 Atomphysik 3 Aufbau von Atomen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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