100 % Mathematik 4, Arbeitsheft

16 11 Wachstums- und Abnahmeprozesse b) Graf: Vergleiche mit der Zeichnung von Aufg. 825 im Schulbuch! steigende Kurve, exponentielles Wachstum: ZB: x-Achse: 1 Jahr ⩠ 1cm; y-Achse: Beginne die Skalierung mit 1 Mill., jede weitere 1 Mill. ⩠ 2mm c) ZB: Der Graf ist eine immer steiler werdende Kurve statt einer Geraden. 390 a) n steht für die Anzahl der Teilungen, die alle 2 Stunden stattfinden. b) nach einem Tag sind 4096 Zellen vorhanden, nach einer Woche sind es 1,93 ∙ 10 25 Zellen (1,9342…∙ 1025) c) nach 40 Stunden sind mehr als 1 Mill. Zellen vorhanden; y = 2 20 391 a) Rechnung 1: K 6 … Endkapital nach 6 Jahren, 200€ … Anfangskapital, 1,008 … Zinsfaktor, 6 … Anzahl der Jahre, jährliche Zunahme: um 0,8% Rechnung 2: K 5 … Endkapital nach 5 Jahren, 100€ … Anfangskapital, 0,98 … Zinsfaktor, 5 … Anzahl der Jahre; jährlicher Verlust: um 2% b) Rechnung 1: K 6 = 209,79€ (209,794…) Rechnung 2: K 5 = 90,39€ (90,392…) 392 a) K n = 100 ∙ 0,98 n : K 5 = 90,39€ (90,392…); K 10 = 81,71€ (81,707…); K 15 = 73,86€ (73,856…) b) Inflationsrate Juni 2015: 1% (Quelle: Statistik Austria) K n = 100 ∙ 0,99 n : K5 = 95,10€ (95,099…); K10 = 90,44€ (90,438…); K 15 = 86,01€ (86,005…) ZB: Je kleiner die Inflationsrate ist, desto mehr zahlt sich das Sparen aus, um sich später eine größere Anschaffung leisten zu können. Bei sehr hoher Inflationsrate bekommst du für dein Taschengeld nach einiger Zeit weniger. 393 ersten 10 Jahre: p eff % = 2,25%; q = 1,0225; K 10 = 1249,20€ (1249,203…); weitere 8 Jahre: p eff % = 0,09375%; q = 1,0009375; K 8 = 1258,60€ (1258,603…) 394 Verwende zur Überprüfung ein Programm für Tabellenkalku lation! 250€ ∙ 1,000625 12 + 250€ ∙ 1,000625 11 + 250€ ∙ 1,000625 10 +….+ 250€ ∙ 1,000625 2 + 250€ ∙ 1,000625 1 = = 3012€ (3012,215…) 395 Kreuze von oben nach unten an: y steht für die Fallstrecke, x steht für die Fallzeit. 396 a) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 5 20 45 80 125 180 245 320 405 500 b) ZB: quadratische Zunahme c) ZB: Beim quadratischen Wachstum wird die Variable x stets quadriert. Beim exponentiellen Wachstum steht x im Exponenten, das bedeutet, dass die Basis stets gleich bleibt, aber die Hochzahl sich verändert. 397 x 2 =   43 _ 5  , x = 2,93s (2,9325…) 398 Sachverhalt: Ein Kapital liegt x Jahre auf einem Sparbuch (ohne Abhebung). Art des Wachstums: exponentielles Wachstum, Funktionsgleichung: y = 2000 ∙ 1,0125 x ; Sachverhalt: Eine Kerze brennt in einer Stunde um 0,5cm ab. Art des Wachstums: lineare Abnahme, Funktionsgleichung: y = 12 – 0,5x; Sachverhalt: Der Bremsweg wächst stärker als die Geschwin- digkeit. Art des Wachstums: quadratisches Wachstum, Funktionsgleichung: y = (    x _ 10   ) 2 399 a) Tag 0 1 2 3 Anzahl der Steine 4000 2000 1000 500 Tag 4 5 6 Anzahl der Steine 250 125 62,5 Bereits am 6. Tag müsste ein Stein halbiert werden. Die Größe der Steine nimmt ab. Graf: Vergleiche mit der Zeichnung von Aufg. 842 im Schulbuch! b) Die Halbwertszeit ist nach einem Tag erreicht. 400 a) Markiere im Diagramm den Punkt (30 Jahre | 15 g). b) Jahre 0 30 60 90 120 Menge in % 100 50 25 12,5 6,25 Jahre 180 210 240 270 Menge in % 3,13 (3,125) 1,56 (1,5625) 0,781 (0,78125) 0,391 (0,39062…) 401 ZB: E = 1013 ∙ 0,87   h _ 1000 , da 0,87 die Abnahme zeigt und   h _ 1000 der Exponent ist. 402 Standpunkt Höhe Luftdruck Basislager 5300m 484 hPa (484,24…) 2. Lager 6200m 427 hPa (427,19…) 4. Lager 8000m 332 hPa (332,17…) Gipfel 8848m 295 hPa (295,44…) 403 a) ZB: Die Gebühr von 27,30€ kann als„versteckte Zinsen“ angesehen werden. Es entstehen jedenfalls Kosten. b) p eff % = 6,4% (6,36) 404 ZB: Wie hoch ist Pauls Guthaben nach 5 Jahren? p eff % = 1,875; 3292€ (3291,996…) 405 a) 49999900% b) ZB: Der Wert der„Blauen Mauritius“ hat mit der Zeit zugenommen. Je seltener der Erwerb dieser Briefmarke möglich ist, umso stärker steigt ihr Wert. Hanna geht bei ihren Werten von einem direkt proportionalen Wachstum aus, was nicht korrekt ist. 406 a) nach 5 Jahren hat Barbara 2537,73€ (2537,725…). b) Die Kaufkraft beträgt nur mehr 2259,80€ (2259,801992…) 407 a) Tabelle 1: zeigt ein lineares Wachstum, weil die beiden Größen immer um den gleichen Betrag zunehmen. Tabelle 2; zeigt ein exponentielles Wachstum, da die y-Werte exponentiell steigen. b) Tabelle 1: y = 4 + 3x; Tabelle 2: y = 4 ∙ 1,3 x c) Tabelle 1: Anfangswert: 4, Zunahme pro Zeiteinheit: 3 Tabelle 2: Anfangswert: 4, Wachstumsfaktor: 1,3 408 a) y = 80 ∙ 0,95 x b) 55,9 °C (55,866…) c) nach 6 Minuten ist die Temperatur unter 60 °C (58,8 °C) gesunken. 409 a) Vergleiche mit der Zeichnung von Aufg. 825m Schulbuch! ZB: x-Achse: 1 E–Mail ⩠ 1cm; y-Achse: 1 Computer ⩠ 1mm; 2andere Computer: y = 2 x ; 5andere Computer: y = 5 x ; 10andere Computer: y = 10 x b) ZB: Je größer der Anfangswert ist, desto größer ist die Steigung der Kurve. K K K K K Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv