100 5 ell ipse , hyperbel und Parabel gleichung einer ellipse Man sagt: Eine ellipse ist in 1. hauptlage (2. hauptlage), wenn die Brennpunkte F und F’ auf der 1. Achse (2. Achse) liegen. Beachte : Wir behandeln im Folgenden ausschließlich ellipsen in 1. hauptlage. Wir leiten eine Gleichung für eine Ellipse in 1. hauptlage her. A = (a 1 0) A’ = (– a 1 0) B = (0 1 b) B’ = (0 1 –b) F = (e 1 0) F’ = (– e 1 0) Für einen beliebigen Punkt X = (x 1 y) der Ellipse gilt: _ FX+ _ F’X= 2a 9 _________ (x – e) 2+ (y – 0) 2+ 9 _________ (x + e) 2+ (y – 0) 2= 2a 9 ______ (x – e) 2+ y 2= 2a – 9 ______ (x + e) 2+ y 2 ‡ Quadrieren (x – e) 2+ y 2= 4a 2– 4a 9 ______ (x + e) 2+ y 2+ (x + e) 2+ y 2 x 2 – 2ex + e 2+ y 2= 4a 2– 4a 9 ______ (x + e) 2+ y 2+ x 2 + 2ex + e 2+ y 2 4a 9 ______ (x + e) 2+ y 2= 4a 2+ 4ex ‡ : 4 a 9 ______ (x + e) 2+ y 2= a 2+ ex ‡ Quadrieren a 2(x 2 + 2ex + e 2+ y 2) = a 4+ 2a 2ex + e 2 x 2 a 2 x 2+ 2a 2ex + a 2 e 2+ a 2 y 2= a 4+ 2a 2ex + e 2 x 2 (a 2– e 2) x 2+ a 2 y 2= a 4– a 2 e 2 (a 2– e 2) x 2+ a 2 y 2= a 2(a 2– e 2) ‡ a 2– e 2= b 2 b 2 x 2+ a 2 y 2= a 2 b 2 | : (a 2 b 2) x 2 _ a 2 + y 2 _ b 2 = 1 Bemerkung: Bei dieser herleitung haben wir zweimal beide Seiten der Gleichung quadriert. Da Quadrieren der beiden Seiten im Allgemeinen keine Äquivalenzumformung ist, haben wir durch unsere Umformungen nur bewiesen, dass aus der ersten Gleichung die letzte Gleichung folgt. Man kann beweisen, dass auch umgekehrt aus der letzten Gleichung die erste Gleichung folgt. satz (gleichung einer ellipse in 1. hauptlage) Für eine ellipse ell in 1. hauptlage mit den halbachsenlängen a und b gilt: (x 1 y) * ell É b 2 x 2+ a 2 y 2= a 2 b 2 É x 2 _ a 2 + y 2 _ b 2 = 1 Eine solche Ellipse kann als Punktmenge so dargestellt werden: ellipse in ℝ 2 in 1 hauptlage = {(x 1 y) * ℝ 2 ‡ b 2 x 2+ a 2 y 2= a 2 b 2} = { (x 1 y) * ℝ 2 ‡ x 2 _ a 2 + y 2 _ b 2 = 1 } L X B A' F' x M F b y A e a B' Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
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