101 5 .1 Die ell ipse aufgaben 5 . 04 Gib eine Gleichung der Ellipse in 1. hauptlage an und ermittle die Koordinaten der Scheitel sowie der Brennpunkte der Ellipse! a) a = 9, b = 5 c) a = 4, b = 9 _ 3 e) a = 24, b = 16 g) a = 25, b = 20 b) a = 9, e = 6 d) a = 2 9_ 5, e = 4 f) b = 8, e = 6 h) b = 5, e = 15 5 . 05 Ermittle eine Gleichung der Ellipse in 1. hauptlage! a) F = (4 1 0), a = 5 c) F = (2 1 0), b = 4 e) F = (1 1 0), a = 9 _ 8 b) F = ( 9_ 2 1 0), a = 9__ 11 d) A = ( 9_ 7 1 0), e = 9 _ 3 f) B = (0 1 2), e = 3 5 . 06 von einer Ellipse in 1. hauptlage kennt man den Brennpunkt F und einen Punkt P auf der Ellipse. Ermittle eine Gleichung der Ellipse und die Koordinaten der Scheitel! a) F = (5 1 0), P = (6 1 2) c) F = (6 1 0), P = (– 8 1 2) e) F = (3 1 0) , P = (6 1 9__ 40) b) F = (4 1 0), P = (4 1 6) d) F = (6 1 0), P = (4 1 9__ 21) f) F = (3 1 0), P = (3 1 3,2) 5 . 07 Stelle eine Gleichung der Ellipse in 1. hauptlage auf und berechne die unbekannte Koordinate des Punktes P auf der Ellipse! a) a = 8, b = 4, P = (2 1 p2) mit p2 > 0 d) a = 12, e = 8 9 _ 2, P = (9 1 p 2) mit p2 > 0 b) a = 15, b = 5, P = (9 1 p2) mit p2 < 0 e) b = 6, e = 6, P = (8 1 p2) mit p2 > 0 c) a = 4, e = 2, P = (p1 1 3) mit p1 > 0 f) b = 3, e = 6, P = (5 1 p2) mit p2 < 0 Kreis als spezialfall einer ellipse Wir betrachten eine Ellipse b 2 x 2+ a 2 y 2= a 2 b 2. Ist a = b, ergibt sich aus der Formel e 2= b 2– a 2die Gleichung e = 0 und somit fallen die beiden Brennpunkte F und F’ im Mittelpunkt M der Ellipse zusammen. Setzen wir a = b = r, geht die Gleichung der Ellipse über in r 2 x 2+ r 2 y 2= r 2· r 2. Die Division durch r 2 liefert: x 2+ y 2= r 2. Dies ist eine Gleichung eines Kreises mit dem Radius r. Merke Ein Kreis mit dem Radius r ist eine spezielle Ellipse mit a = b = r, wobei die beiden Brennpunkte im Mittelpunkt des Kreises zusammenfallen. ermittlung der halbachsenlängen aus der gleichung einer ellipse 5 . 08 Gegeben ist die Ellipse ell: 9x 2+ 25y 2= 100. Ermittle die halbachsenlängen a und b, die haupt- und Nebenscheitel sowie die Brennpunkte F und F’ der Ellipse! lösung: Da 9 · 25 ≠ 100 ist, dürfen wir nicht einfach annehmen, dass b2 = 9 und a2 = 25 ist. Wir dividieren vielmehr beide Seiten der Ellipsengleichung durch 100 und erhalten: 9x 2 _ 100 + 25y2 _ 100 = 1 bzw. x2 _ 100 _ 9 + y 2 _ 4= 1 Dieser Gleichung entnimmt man: a2 = 100 _ 9 und b 2 = 4. Also ist a = 10 _ 3 und b = 2. Weiters gilt: e2 = a2 – b2 = 100 _ 9 – 4 = 64 _ 9 , also ist e = 8 _ 3. Damit erhalten wir: A = 2 10 _ 3 1 0 3, A’ = 2 – 10 _ 3 1 0 3, B = (0 1 2), B’ = (0 1 – 2), F = 2 8 _ 3 1 0 3, F’ = 2 – 8 _ 3 1 0 3 L L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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