118 Kompetenzcheck aUFgaBeN voM tYP 2 5 . 79 vierecke in einer ellipse Gegeben ist eine Ellipse ell: b 2 x 2+ a 2 y 2= a 2 b 2 a) Ermittle die Koordinaten der Eckpunkte und den Flächeninhalt des rot unterlegten Rechtecks in Abb. 5.13a! Ermittle die Koordinaten der Eckpunkte und den Flächeninhalt des rot unterlegten Rhombus in Abb. 5.13b! b) Ermittle die Koordinaten der Eckpunkte und den Flächeninhalt des rot unterlegten Quadrats in Abb. 5.13 c! Gib die Eckpunkte des rot unterlegten Rechtecks in Abb. 5.13d an! Abb. 5.13a Abb. 5.13b Abb. 5.13 c Abb. 5.13d 5 . 80 hyperbel und gerade Gegeben sind die hyperbel hyp: 4x 2– y 2= 192 und die Gerade g: 2x + 3y = 8. a) Zeige, dass für die halbachsenlängen der hyperbel gilt: a = 4 9_ 3 und b = 8 9_ 3. Zeige, dass die Asymptoten der hyperbel hyp durch die Gleichungen y = ±2x beschrieben werden! b) Berechne die Koordinaten der Schnittpunke P und Q der Geraden g mit der hyperbel hyp und die Koordinaten der Schnittpunke S 1und S 2 der Geraden g mit den Asymptoten der hyperbel hyp! Zeige: _ PS 1= _ QS 2. c) Ermittle eine Gleichung der Tangente t an die hyperbel hyp im Punkt R = 2 8 1 8 3! Zeige, dass die Tangente t zu keiner Asymptote der hyperbel parallel ist! 5 . 81 tangenten einer Parabel Gegeben ist die Parabel par mit der Gleichung y 2= 4x. a) Zeige, dass die Punkte P = (4 1 4) und Q = 2 1 _ 4 1 –1 3auf der Parabel liegen! Überprüfe für jeden der beiden Punkte P und Q, dass der Abstand vom Brennpunkt und der Abstand von der Leitlinie jeweils gleich groß sind! b) Stelle Gleichungen der Tangenten an die Parabel in den Punkten P und Q auf und zeige, dass sich diese beiden Tangenten auf der Leitlinie der Parabel schneiden! Zeige, dass die Parabeltangenten in P und Q zueinander normal sind! ag- l 3 . 6 ag- l 5 .1 ag- l 5 . 2 Fa-r 1 . 6 x y x y x y F F' x y hyp P Q S2 S1 g y x ag-r 3 . 4 ag-r 3 . 5 ag- l 5 .1 ag- l 52 Fa-r 1 . 6 ag-r 3 . 4 ag-r 3 . 5 ag- l 5 .1 ag- l 5 . 2 Fa-r 1 . 6 par P F Q t2 t1 ® y x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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