119 Kompetenzcheck 5 . 82 tangentenkonstruktionen bei Kegelschnitten Die Tangente an einen Kreis in einem Punkt dieses Kreises konstruiert man leicht als Normale auf den zugehörigen Radius. Für Ellipsen, hyperbeln und Parabeln sind entsprechende Tangentenkonstruktionen dagegen aufwändiger. a) Konstruktion der tangente t in einem Punkt P einer ellipse Gegeben sind die Ellipse ell: 4x 2+ 9y 2= 180 und der Ellipsenpunkt P = (3 1 p 2) mit p 2> 0. Ermittle die Koordinaten der Brennpunkte F und F’, die hauptachsenlänge 2a und die Koordinaten von P! Zeige durch Rechnung, dass die folgende Konstruktion die Tangente t an ell in P liefert! schritt 1: Z eichne den so genannten Leitkreis k’ mit dem Mittelpunkt F’ und dem Radius 2a! schritt 2: E rmittle den Schnittpunkt G des Strahls F’P mit dem Leitkreis k’! schritt 3: Z eichne die Normale durch P auf die Strecke FG! Dies ist die gesuchte Tangente. b) Konstruktion der tangente t in einem Punkt P einer hyperbel Gegeben sind die hyperbel hyp: 5x 2– 4y 2 = 20 und der hyperbelpunkt P = (p 1 1 7,5) mit p 1> 0. Ermittle die Koordinaten der Brennpunkte F und F’, die hauptachsenlänge 2a und die Koordinaten von P! Zeige durch Rechnung, dass die folgende Konstruktion die Tangente t an hyp in P liefert! schritt 1: Zeichne den so genannten Leitkreis k’ mit dem Mittelpunkt F’und dem Radius 2a! schritt 2: E rmittle den Schnittpunkt G der Strecke F’P mit dem Leitkreis k’! schritt 3: Z eichne die Normale durch P auf die Strecke FG ! Dies ist die gesuchte Tangente. c) Konstruktion der tangente t in einem Punkt einer Parabel Gegeben sind eine Parabel par: y 2= 4x und der Parabelpunkt P = (4 1 p 2) mit p2 > 0. Zeige durch Rechnung, dass die folgende Konstruktion die Tangente t an par in P liefert! schritt 1: Zeichne den Kreis k mit dem Mittelpunkt F und dem Radius _ FP! schritt 2: Schneide den Kreis k mit der Parabelachse a! von den beiden Schnittpunkten sei T der näher beim Scheitel S liegende Schnittpunkt und N der andere Schnittpunkt. schritt 3: Z eichne die Gerade durch die Punkte T und P! Dies ist die gesuchte Tangente. Begründe, dass die Gerade PN zur Tangente an die Parabel in P normal ist! Fa-r 1 . 6 ag-r 3 . 4 ag-r 3 . 5 ag- l 5 .1 ag- l 5 . 2 ell P F F’ k' G t 2a y x hyp P F F’ k' G t 2a y x par P y S F T N x k t ® a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=