12 1 gleichUNgeN UND PolyNoMFUNkt ioNeN 1 . 2 NUllstelleN voN PolyNoMFUNktioNeN Wir wiederholen (siehe Mathematik verstehen 6, Seite 52): Definition Eine reelle Funktion f mit f(x) = an x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynomfunktion vom grad n. Häufig sind jene Stellen von Interesse, an denen die Funktion den Wert 0 annimmt. Definition Es sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion. Eine Stelle x 0 * A heißt Nullstelle von f, wenn f(x 0) = 0 ist. Beachte x 0ist Nullstelle von f É x 0ist lösung der gleichung f(x) = 0 Eine Nullstelle x 0 ist vom Punkt (x 0 1 0) zu unterscheiden. Da eine Gleichung vom Grad n höchstens n Lösungen haben kann, kann eine Polynomfunktion vom Grad n höchstens n Nullstellen besitzen. Wir halten dies fest: Satz Eine Polynomfunktion vom grad n hat höchstens n Nullstellen. Eine Polynomfunktion f vom Grad n kann aber durchaus weniger als n Nullstellen besitzen, wenn die algebraische Gleichung f(x) = 0 vom Grad n weniger als n Lösungen hat. Ist x 0eine „Doppellösung“ der Gleichung f(x) = 0, dann bezeichnet man die dazugehörige Nullstelle von f manchmal als „Doppelnullstelle“. Beispiel : f(x) = 0,25 · (x 2– 4x + c) mit c * ℝ Für c = 3 ist f(x) = 0,25 · (x 2– 4x + 3) = 0,25 · (x – 1)(x – 3) (roter Graph) Für c = 4 ist f(x) = 0,25 · (x – 2) 2 (blauer Graph) Wird der rote Graph in Richtung der zweiten Achse nach oben verschoben, kommen die beiden Nullstellen einander immer näher, bis sie schließlich zusammenfallen und eine „Doppelnullstelle“ bilden. Man erkennt eine Doppelnullstelle also daran, dass der Graph von f die erste Achse an der betreffenden Stelle berührt. aUFgabeN 1 . 21 Nebenstehend ist ein Ausschnitt einer Polynomfunktion f vom Grad 6 dargestellt. Entnimm dem Graphen alle Nullstellen von f und begründe, dass keine weiteren Nullstellen von f existieren! 1 . 22 Ermittle alle Nullstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ! a) f(x) = (x – 3) 2 c) f(x) = x 4 – 2x 2+ 1 b) f(x) = x 3– x d) f(x) = x 4+ x 3 – 6x 2 1 . 23 Faktorisiere das Polynom f(x) und ermittle daraus die Lösungen der Gleichung f(x) = 0! a) f(x) = x 3 + 2x 2– x – 2 c) f(x) = x 3+ x 2+ x + 1 b) f(x) = 2x 3 – 5x 2+ 4x – 1 d) f(x) = x 4 – 2x 3 – 3x 2+ 4x + 4 x f(x) 1 2 3 4 1 2 0 R x f(x) f 1 2 3 – 2 – 1 1 – 2 – 1 0 kompakt Seite 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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