11 1 .1 algebraische gleichUNgeN anzahl der lösungen einer gleichung vom grad n Hat eine algebraische Gleichung f(x) = 0 vom Grad n mehrere Lösungen x 1 , x 2 , …, x k , so kann man fortlaufend Linearfaktoren abspalten und erhält: f(x) = (x – x 1) · (x – x 2) ·…· (x – x k) · g(x) Da f(x) vom Grad n ist, kann man aber höchstens n Linearfaktoren abspalten. Daraus ergibt sich unmittelbar der folgende Satz: Satz Eine gleichung vom grad n besitzt höchstens n reelle lösungen. Beachte : Eine Gleichung vom Grad n kann durchaus weniger als n reelle Lösungen haben. Zum Beispiel kann die Gleichung x 3 – 3x 2+ 3x – 1 = 0 in der Form 2 x – 1 3 3= 0 geschrieben werden, woraus man erkennt: Die Gleichung ist vom Grad 3, hat aber nur eine reelle Lösung, nämlich 1. aUFgabeN 1 .18 Gegeben ist eine algebraische Gleichung vom Grad 4. Kreuze die möglichen Fälle an! 1 .19 Gib ein Beispiel einer Gleichung vom Grad 3 an, die 1) genau eine, 2) genau zwei, 3) genau drei reelle Lösungen hat! lösUNg zU 1): Zum Beispiel hat die Gleichung (x + 2) 3= 0 bzw. x 3 + 6x 2+ 12x + 8 = 0 nur die Lösung x = – 2. 1 . 20 Gib ein Beispiel einer Gleichung vom Grad 4 an, die 1) genau eine, 2) genau zwei, 3) genau drei, 4) genau vier reelle Lösungen hat! Faktorisieren von Polynomen Polynome lassen sich in Faktoren zerlegen. Beispiel 1 : f 1(x) = x 3 – 2x 2– 5x + 6 = (x + 2) · (x – 1) · (x – 3) Beispiel 2 : f 2(x) = x 3 – 5x 2+ 8x – 4 = (x – 1) · (x – 2) 2= (x – 1) · (x – 2) · (x – 2) Beispiel 3 : f 3(x) = x 3– x 2+ 4x – 4 = (x – 1) · (x 2+ 4) Nach dem Produkt-Null-Satz erkennt man daraus: Die Gleichung f 1(x) = 0 hat die Lösungen –2, 1 und 3. Die Gleichung f 2(x) = 0 hat nur die Lösungen 1 und 2, obwohl der Faktor (x – 2) zweimal auftritt. Man bezeichnet die Lösung 2 daher auch als „Doppellösung“. Die Gleichung f 3(x) = 0 hat nur die Lösung 1, weil sich der quadratische Faktor (x 2+ 4) in R nicht weiter in Linearfaktoren zerlegen lässt. R R Die Gleichung hat keine Lösung. Die Gleichung hat genau eine Lösung. Die Gleichung hat genau drei Lösungen. Die Gleichung hat mehr als vier Lösungen. Die Gleichung hat mehr als zwei Lösungen. R kompakt Seite 13 Ó arbeitsblatt 9ps5tk Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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