10 1 gleichUNgeN UND PolyNoMFUNkt ioNeN Mit Hilfe der Regel von Horner kann man den folgenden Satz beweisen: Satz Ist f(x) ein Polynom vom Grad n und x 0eine Lösung der Gleichung f(x) = 0, dann gilt f(x) = (x – x 0 ) · g(x) für alle x * ℝ, wobei g(x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. Beweis : f(x) = a n x n+ a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 Wegen f(x 0) = 0 gilt: f(x) = f(x) – f(x 0) = a nx n+ a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0– (a nx 0 n+ a n – 1 x 0 n – 1 + … + a 1 x 0+ a 0) = = a n( x n– x 0 n) + a n – 1(x n – 1– x 0 n – 1) + … + a 1(x – x 0) Auf jede Klammer in diesem Ausdruck wenden wir die Regel von Horner an: f(x) = a n(x – x 0)(x n – 1 + …) + a n – 1(x – x 0)(x n – 2 + …) + … + a 1(x – x 0) = = (x – x 0)(a nx n – 1 + …) + (x – x 0)(a n – 1 x n – 2 + …) + … + a 1(x – x 0) = = (x – x 0)(a nx n – 1 + …) = (x – x 0) · g(x) Wegen a n≠ 0 ist g(x) ein Polynom vom Grad n – 1. Definition Den Faktor x – x 0im obigen Satz bezeichnet man als linearfaktor zur Lösung x 0 , die Zerlegung f(x) = (x – x 0) · g(x) als abspalten des linearfaktors x – x 0. Durch das Abspalten eines Linearfaktors kann das Lösen einer Gleichung vom Grad n auf das Lösen einer Gleichung vom Grad n – 1 zurückgeführt werden. Allerdings setzt dies voraus, dass man eine Lösung x 0der gegebenen Gleichung kennt. Eine solche kann man manchmal durch Probieren finden. aUFgabeN 1 .14 Zeige mit Hilfe der Regel von Horner, dass die folgende Gleichung nur eine Lösung in ℝ besitzt! a) x 3– 27 = 0 b) x 3– 64 = 0 c) x 3– 343 = 0 1 .15 Ermittle alle reellen Lösungen der folgenden Gleichung! a) x(x 3– 125) = 0 b) x 2(x 2+ 1) = 0 c) x 4– 1 = 0 d) (x 2– 1)(x 6– 64) = 0 1 .16 Zeige, dass x 0eine Lösung der gegebenen Gleichung ist, und ermittle alle weiteren reellen Lösungen dieser Gleichung durch Abspalten von x – x 0! a) x3 – 7x + 6 = 0, x 0 = 1 e) x 3 + 2x2 – 23x – 60 = 0, x 0 = – 3 b) x3 + 2x2 – x – 2 = 0, x 0 = 1 f) x 3 – 8x2 + 19x – 12 = 0, x 0 = 3 c) x3 – 2x2 – 9x + 18 = 0, x 0 = 2 g) x 3 – 3x2 – 6x + 8 = 0, x 0 = 4 d) 4x3 + 4x2 – 7x + 2 = 0, x 0 = – 2 h) 2x 3 + 9x2 + 5x + 4 = 0, x 0 = – 4 1 .17 Finde eine Lösung x 0der folgenden Gleichung durch Probieren und ermittle anschließend alle weiteren reellen Lösungen der Gleichung durch Abspalten von x – x 0! a) x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 e) x4 + x3 – 7x2 – x + 6 = 0 b) x3 – x2 – 10x – 8 = 0 f) x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 = 0 c) 4x3 – 3x – 1 = 0 g) 2x4 – 8x3 + 9x2 – 4x + 4 = 0 d) 2x3 – x2 – 13x – 6 = 0 h) 3x4 + 11x3 + 4x2 – 20x – 16 = 0 kompakt Seite 13 R kompakt Seite 13 Nur zu Prüfzwec en – Eigentum es Verlags öbv
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