9 1 .1 algebraische gleichUNgeN lösen von gleichungen durch abspalten von linearfaktoren Die binomische Formel a 2– b 2= (a – b)(a + b) lässt sich wie folgt zu einer Regel verallgemeinern, die auf den Mathematiker William george Horner (1786–1837) zurückgeht. Satz (Regel von Horner) Für alle a, b * R und alle n * N* gilt: an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2 · b1 + … + a1 · bn – 2 + bn – 1) Beweis : (a – b )(an – 1 + an – 2 · b + … + a · bn – 2 + bn – 1) = = an + an – 1 · b + an – 2 · b2 + … + a2 · bn – 2 + a · bn – 1 – – an – 1 · b – an – 2 · b2 – … – a2 · bn – 2 – a · bn – 1 – bn = an – bn 1 .12 Man sieht sofort, dass die Gleichung x 3– 8 = 0 die Lösung x = 2 hat. Aber gibt es möglicherweise noch weitere Lösungen? Zeige mit der Regel von Horner, dass dies nicht der Fall ist! lösUNg: Mit Hilfe der Regel von Horner lässt sich die Gleichung so schreiben: x 3 – 8 = x 3– 2 3= (x – 2)(x 2+ x · 2 + 2 2) = (x – 2)(x 2+ 2x + 4) = 0 x – 2 = 0 = x 2+ 2x + 4 = 0 Die erste Gleichung hat die Lösung x = 2. Die quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung, da die Diskriminante negativ ist. Somit ist 2 die einzige Lösung der gegebenen Gleichung. 1 .13 Zeige, dass 1 eine Lösung der Gleichung x3 + 2x2 – 13x + 10 = 0 ist, und ermittle alle Lösungen dieser Gleichung! lösUNg: Es gilt 13 + 2 · 12 – 13 · 1 + 10 = 0. Somit ist 1 eine Lösung der Gleichung. Um die weiteren Lösungen zu ermitteln, zerlegen wir das Polynom f(x) = x3 + 2x2 – 13x + 10. Dies kann man auf zwei Arten durchführen: 1. Art (mit der Regel von Horner): Wegen f(1) = 0 können wir schreiben: f(x) = f(x) – f(1) = x3 + 2x2 – 13x + 10 – (13 + 2 · 12 – 13 · 1 + 10) = = (x3 – 13) + 2 · (x2 – 12) – 13 · (x – 1) = = (x – 1)(x2 + x + 1) + 2 · (x – 1)(x + 1) – 13 · (x – 1) = = (x – 1) · [(x2 + x + 1) + 2 · (x + 1) – 13] = (x – 1) · (x2 + 3x – 10) 2. Art (mittels Polynomdivision): (x3 + 2x2 – 13x + 10) : (x – 1) = x2 + 3x – 10 (+) – x3 (–) + x2 3x2 – 13x (+) – 3x2 (–) + 3x –10x + 10 (–) + 10x (+) – 10 0 Wir erhalten (Probe zur Division): f(x) = (x – 1) · (x2 + 3x – 10) In beiden Fällen kann die gegebene Gleichung so geschrieben werden: (x – 1) · (x2 + 3x – 10) = 0 x = 1 = x = 2 = x = – 5 (Rechne nach!) R Regel von Horner Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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