8 1 gleichUNgeN UND PolyNoMFUNkt ioNeN 1 . 06 (Fortsetzung von 1.05a) Jemand löst die Gleichung x 3 – 4x 2– 5x = 0 so: x3 – 4x2 – 5x = 0 | : x x2 – 4x – 5 = 0 x = –1 = x = 5 Die Lösung x = 0 ist verlorengegangen. Wo liegt der Fehler? lösUNg: Durch x darf man nur dividieren, wenn x ≠ 0 ist. Es wurde also stillschweigend x ≠ 0 vorausgesetzt und dabei übersehen, dass x = 0 eine Lösung der Gleichung ist. Beachte Wenn man in einer Gleichung durch eine Unbekannte dividiert, können Lösungen verloren gehen. aUFgabeN 1 . 07 Löse die Gleichung in ℝ durch Herausheben! a) x 3 + 2x 2– 3x = 0 c) x 3 – 4x 2– 5x = 0 e) 1 _ 20· (x 4 – 14x 3 + 45x 2) = 0 b) x 3 – 6x 2+ 8x = 0 d) – 1 _ 4x 4+ x 3= 0 f) 1 _ 8 x 4 + 1 _ 2 x 3= 0 1 . 08 Löse die Gleichung in ℝ durch Herausheben! a) x2 (x + 3) – (x + 3) = 0 d) 4(x2 + 1)(x2 – 1) – 17(x2 – 1) = 0 b) x2 (x – 3) = 2x(x – 3) e) x3 – 5x2 + (x – 5)2 = 3x(5 – x) c) (x2 – 7x)(x2 – 3) = –6(x2 – 3) f) 5x(x2 + 4x + 3) = (x2 + 4)(x2 + 4x + 3) lösen von gleichungen durch Substitution 1 . 09 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung a) x 4– x 2– 2 = 0, b) x 6 – 9x 3+ 8 = 0! lösUNg: a) Substitution: Wir setzen x 2= u. b) Substitution: Wir setzen x 3= u. u 2– u – 2 = 0 u 2– 9u + 8 = 0 u = –1 = u = 2 (Rechne nach!) u = 1 = u = 8 (Rechne nach!) Rücksubstition: Wir setzen u = x 2. Rücksubstition: Wir setzen u = x 3. x 2= –1 = x 2= 2 x 3= 1 = x 3= 8 Die Gleichung x 2= –1 hat keine Die Gleichung x 3= 1 hat die Lösung 1, Lösung in ℝ, die Gleichung x 2= 2 die Gleichung x 3= 8 hat die Lösung 2. hat die Lösungen x = 9_ 2und x = – 9_ 2. L = {1, 2} L = { – 9_ 2, 9_ 2 } BeMerkUNg: Eine Gleichung der Form a · x 4+ b · x 2+ c = 0 mit a ≠ 0 bezeichnet man als biquadratische gleichung. aUFgabeN 1 .10 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung durch Substitution! a) x4 – 5x2 + 6 = 0 c) 4x4 + 3x2 – 1 = 0 e) x6 – 4x3 + 3 = 0 b) 3x4 + 10x2 + 3 = 0 d) x4 – 13x2 + 36 = 0 f) 8x6 + 215x3 – 27 = 0 1 .11 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung durch Substitution! a) (x + 1) 4+ (x + 1) 2– 20 = 0 b) (x – 2) 4– 2(x – 2) 2– 8 = 0 R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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