125 6 .1 KUrven in Der eBene Polardarstellung von Kurven in der ebene Man kann jeden Punkt X einer Kurve k in ℝ 2, die nicht durch O geht, durch den Polarabstand r und den Polarwinkel φ von X festlegen. Dazu genügt es, r als Funktion von φ anzugeben, also r: φ ¦ r(φ). Dadurch wird jedem φ in einem vorgegebenen Intervall genau ein Punkt X = [r(φ) 1 φ] auf der Kurve zugeordnet. Eine solche Darstellung bezeichnet man als Polardarstellung der Kurve k. 6 .12 Ein Gedankenexperiment: Eine Scheibe dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω im Gegenuhrzeigersinn. Eine kleine Raupe befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 im Mittelpunkt M der Scheibe und kriecht mit der konstanten Geschwindigkeit v radial nach außen. Auf welcher Kurve bewegt sich die Raupe für einen Beobachter, der von oben auf die Scheibe blickt? lösUng: Da sich die Scheibe mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω dreht, gilt für das Bogenmaß φ des Drehwinkels zum Zeitpunkt t: (1) φ = ω · t Da die Raupe mit der konstanten Geschwindigkeit v nach außen kriecht, gilt für ihre Entfernung vom Mittelpunkt M zum Zeitpunkt t: (2) r = v · t Aus (1) und (2) folgt: r = v · t = v · φ _ ω = v _ ω · φ. Somit erhalten wir folgende Polardarstellung der gesuchten Kurve: r(φ) = v _ ω · φ Diese Kurve bezeichnet man als archimedische spirale. Sie ist nebenstehend für v _ ω = 2 und φ * [0; 6 π] abgebildet. aUFgaBen 6 .13 Zeichne mit Technologieeinsatz Archimedische Spiralen mit verschiedenen selbst gewählten Werten für v und ω! Beschreibe, wie sich die Form der Spirale ändert, wenn 1) v (bei konstantem ω), 2) ω (bei konstantem v) wächst! 6 .14 Eine Kurve mit der Polardarstellung r(φ) = c · e a φ (mit c, a * ℝ +) heißt logarithmische spirale. Sie ist in der nebenstehenden Abbildung für c = 1,1 und a = 0,08 dargestellt. Zeichne mit Technologieeinsatz logarithmische Spiralen mit verschiedenen, selbst gewählten Werten für c und a! Beschreibe, wie sich die Form der Spirale ändert, wenn 1) c (bei konstantem a), 2) a (bei konstantem c) wächst! 6 .15 Wähle verschiedene, streng monoton steigende Funktionen r: ℝ 0 + ¥ ℝ 1 φ ¦ r(φ) und stelle mit Technologieeinsatz fest, ob die zugehörigen Kurven eine Gemeinsamkeit aufweisen! 6 .16 von einer Kurve kennt man die folgende Polardarstellung. variiere die Werte der Parameter und stelle die jeweilige Kurve mit Technologieeinsatz dar! a) Kardioide (herzkurve): r(φ) = 2a · (1 + cos(φ)) c) Nephroide: r(φ) = a + 2 · a · sin 2 φ _ 2 3 b) cartesisches Blatt: r(φ) = 3a · sin φ · cos φ ___ sin3 φ + cos3 φ d) rosenkurve: r(φ) = c · sin 2 a _ b· φ 3 L kompakt seite 127 x y X k φ r 0 r φ x y L Ó applet jh6s5j Ó applet p8f64t x y Ó applet z2m6tn Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
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