126 6 KUrven 6 . 2 KUrven iM raUM Parameterdarstellungen von Kurven im raum Kurven im Raum kann man auf analoge Weise durch eine Parameterdarstellung angeben wie Kurven in der Ebene. Definition Es sei I ein Intervall. Falls die Funktionen t ¦ x(t), t ¦ y(t) und t ¦ z(t) stetig sind, bezeichnet man die Punktmenge k = {X(t) * ℝ 3 ‡ t * i} = {(x(t), y(t), z(t)) * ℝ 3 ‡ t * i} als Kurve in ℝ 3 . Die Gleichung X(t) = (x(t) 1 y(t) 1 z(t)) bezeichnet man als Parameterdarstellung der Kurve k. Durch diese Parameterdarstellung wird jedem Parameterwert t * I genau ein Punkt X(t) der Kurve k zugeordnet. Durchläuft t das Intervall I, dann durchläuft der Punkt X(t) die Kurve k. Beispiel: Parameterdarstellung einer schraubenlinie Wir betrachten die in der nebenstehenden Abbildung dargestellte Schraubenlinie mit dem „Radius“ r und der „Ganghöhe“ h. Für einen Punkt X(t) = (x(t) 1 y(t) 1 z(t)) auf der Schraubenlinie gilt: x(t) = r · cos(t), y(t) = r · sin(t), z(t) = c · t Dabei ist c so zu bestimmen, dass z(2 π) = c · 2 π = h ist, also c = h _ 2 π . Damit erhält man folgende Parameterdarstellung der Schraubenlinie: X(t) = 2 r · cos(t) 1 r · sin(t) 1 h _ 2 π · t 3 mit t * ℝ Die Schraubenlinie S kann man so darstellen: S = { X(t) * ℝ 3 ‡ X = 2 r · cos(t) 1 r · sin(t) 1 h _ 2 π · t 3 ? t * ℝ } = = { (x(t) 1 y(t) 1 z(t)) * ℝ 3 ‡ x(t) = r · cos(t) ? y(t) = r · sin(t) ? z(t) = h _ 2 π · t ? t * ℝ } Beachte, dass sich die Schraubenlinie unter der xy-Ebene fortsetzt! aUFgaBen 6 .17 Stelle die folgende Raumkurve mit Technologieeinsatz grafisch dar und beschreibe ihre Form! a) X(t) = (t 1 2t 1 3t) mit t * ℝ e) X(t) = (3 · cos(t) 1 3 · sin(t) 1 t) mit t * [– 4 π; 4 π] b) X(t) = (t 1 t 1 t 2) mit t * ℝ f) X(t) = 2 t _ 3 · cos(t) 1 t _ 3 · sin(t) 1 t _ 3 3 mit t * [0; 4 π] c) X(t) = (t 1 t 2 1 0) mit t * ℝ g) X(t) = (2 + cos(t) 1 sin(t) 1 0) mit t * [0; 2 π] d) X(t) = (t 1 0 1 9_ t) mit t * ℝ 0 + h) X(t) = (4 · cos(t) 1 1 1 4 · sin(t)) mit t * [0; 2 π] 6 .18 Gib an, in welcher der drei Koordinatenebenen des Raumes der folgende Kreis liegt! a) X(t) = (cos(t) 1 sin(t) 1 0) mit t * [0; 2 π) b) X(t) = (0 1 sin(t) 1 cos(t)) mit t * [0; 2 π) L kompakt seite 127 Ó applet c3gc6k h t r X y x z L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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