143 7.1 aBlei tungen wei terer Funkt ionen ableitung der sinus- und cosinusfunktion satz (ableitungsregeln für die sinus- und cosinusfunktion) (1) f(x) = sin(x) w f’(x) = cos(x) (2) f(x) = cos(x) w f’(x) = – sin(x) Beweisski zze : Wir benutzen das erste Additionstheorem (siehe Mathematik verstehen 6, Seite 100): sin(x + y) = sin(x) · cos(y) + cos(x) · sin(y) cos(x + y) = cos(x) · cos(y) – sin(x) · sin(y) Damit erhalten wir: (1) f(x + h) – f(x) __ h = sin(x + h) – sin(x) ___ h = sin(x) · cos(h) + cos(x) · sin(h) – sin(x) ______ h = sin(x) · cos(h) – 1 __ h + cos(x) · sin(h) _ h Man kann zeigen (vgl. die Tabelle): lim h ¥ 0 cos(h) – 1 __ 1 = 0 und lim h ¥ 0 sin(h) _ 1 = 1 Damit erhalten wir: f ’(x) = lim h ¥ 0 f(x + h) – f(x) __ h = sin(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x) (2) f(x + h) – f(x) __ h = cos(x + h) – cos(x) ___ h = cos(x) · cos(h) – sin(x) · sin(h) – cos(x) ______ h = cos(x) · cos(h) – 1 __ h – sin(x) · sin(h) _ h f ’(x) = lim h ¥ 0 f(x + h) – f(x) __ h = cos(x) · 0 – sin(x) · 1 = – sin(x) 7. 20 Ermittle f’(x)! a) f(x) = sin(2x) b) f(x) = – cos(– x) lösung: a) f’(x) = cos(2x) · 2 = 2 · cos(2x) b) f’(x) = – (– sin(– x)) · (–1) = – sin(– x) aufgaBen 7. 21 Ermittle f’(x)! a) f(x) = 2 · sin(x) c) f(x) = – 2,5 · sin(4x) e) f(x) = cos(x) + sin(– x) b) f(x) = 3 · cos(x) d) f(x) = x 2– cos 2 3x _ 2 3 f) f(x) = sin(3x) – cos(3x) 7. 22 Ermittle die Steigung der a) Sinusfunktion, b) Cosinusfunktion an den Stellen π, π _ 2 , π _ 4 und 3 π _ 4 ! 7. 23 Die Elongation einer schwingenden Feder zum Zeitpunkt t ist gegeben durch s(t) = sin(t) (t in Sekunden, s(t) in Meter). 1) Gib eine Formel für die Geschwindigkeit der Feder zum Zeitpunkt t an und berechne die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 4! 2) Gib eine Formel für die Beschleunigung der Feder zum Zeitpunkt t an und berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt 4! 7. 24 Untersuche f im Intervall [0; 2 π] in Hinblick auf Nullstellen, Monotonie, Krümmung, lokale Extremstellen und Wendestellen! a) f(x) = sin(x) c) f(x) = 1 – sin(x) e) f(x) = sin 2 x _ 2 3 b) f(x) = cos(x) d) f(x) = cos(x) + 2 f) f(x) = 2 · cos(3x) R h cos(h) – 1 __ h sin(h) _ h 0,1 – 0,049958347… 0,998334166… 0,01 – 0,004999958… 0,999983333… 0,001 – 0,000500000… 0,999999833… 0,0001 – 0,000050010… 0,999999998… R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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