150 7 erwei terung der Di fferent ialrechnung aufgaBen 7. 51 Ermittle f’(x)! a) f(x) = 9___ x + 1 b) f(x) = 9 ___ x 3+ 4 c) f(x) = sin(x 2+ 1) d) f(x) = cos 2 π _ 4– x 3 7. 52 Ermittle f’(x)! a) f(x) = e x – 1 b) f(x) = e 2x + 1 c) f(x) = 2 x 2+ 2 d) f(x) = 10 x 2– 1 7. 53 Ermittle f’(x)! a) f(x) = x · e x 2– 1 b) f(x) = x 2· e x 2+ x c) f(x) = x 2· sin(2x) d) f(x) = x · cos(3x) 7. 54 Berechne f’(t)! a) f(t) = sin(1 – 2t) b) f(t) = cos(2t – π) c) f(t) = sin(3t 2) d) f(t) = cos 2 t 2 _ 2 3 7. 55 Berechne f’(t)! a) f(t) = sin(ωt + φ) b) f(t) = cos(ω t + φ) c) f(t) = a · sin(ω t + φ) d) f(t) = a · cos(ω t + φ) Funktionsuntersuchungen 7. 56 Gib den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an! Berechne die Nullstellen und Extremstellen von f (sofern vorhanden)! a) f(x) = 9___ x – 2 c) f(x) = 9 ______ x2 + 3x + 2 e) f(x) = (1 – 9_ x) 2 b) f(x) = 9 ___ x3 + 8 d) f(x) = x2 · 9___ x – 1 f) f(x) = (1 – x) 11 7. 57 Ermittle die Nullstellen und Extremstellen der Funktion f in [0; 2 π] (falls vorhanden)! a) f(x) = sin2 x c) f(x) = cos(2x) e) f(x) = cos(x – π) b) f(x) = cos2 x d) f(x) = 2 · sin 2 x + π _ 2 3 f) f(x) = (1 + cos x) 2 extremwertaufgaben 7. 58 Auf der Straße von A nach B ( _ AB = 50 km) hat B mit 27km den kürzesten Abstand zum Haus H. von A aus soll eine Wasserleitung zum Haus H verlegt werden. Die Kosten für die verlegung betragen längs der Straße AB 120€ pro Laufmeter und im Gelände neben der Straße 165€ pro Laufmeter. Wo muss die Abzweigung C gewählt werden, damit die Gesamtkosten möglichst klein werden? Wie hoch sind die minimalen Gesamtkosten? 7. 59 Einem Halbkreis vom Radius r soll ein Rechteck wie in nebenstehender Abbildung eingeschrieben werden. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks zu wählen, damit a) sein Flächeninhalt, b) sein Umfang maximal wird? 7. 60 Als „mittleren Wert“ von n Messwerten x1 , x2 , …, xn nimmt man häufig jenen Wert x, für den die Summe S(x) = (x – x1) 2 + (x – x 2) 2 + … + (x – x n) 2 ein Minimum wird. Zeige, dass x gleich dem arithmetischen Mittel x1 + x2 + … + xn ___ n der Messwerte ist! 7. 61 1) Welches ist der kürzeste Weg auf der Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge a von einer Ecke zur diametral gegenüberliegenden Ecke? 2) Wie kann man diese Aufgabe auch geometrisch lösen? L h B C A 27 x 50 r a a – x x Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=