151 7. 5 aBlei tung von Umkehrfunkt ionen 7. 5 aBleitung von Umkehrfunktionen Die Umkehrregel; ableitung von logarithmusfunktionen satz (Umkehrregel) Ist g die Umkehrfunktion der reellen Funktion f, dann gilt: g’(x) = 1 _ f’(g(x)) Beweis : Wir setzen y = f(x) und t = f(z) (siehe nebenstehende Abbildung). Dann ist x = g(y) und z = g(t). Die Zahl z nähert sich genau dann unbegrenzt der Zahl x, wenn sich die Zahl t unbegrenzt der Zahl y nähert. Somit gilt: g’(y) = lim t ¥ y g(t) – g(y) __ t – y = lim z ¥ x z – x __ f(z) – f(x) = lim z ¥ x 1 __ f(z) – f(x) __ z – x = 1 _ f’(x) = 1 _ f’(g(y)) Schreibt man x statt y, ergibt sich: g’(x) = 1 _ f’(g(x)) Mit Hilfe der Umkehrregel können wir die Ableitungen von Logarithmusfunktionen ermitteln. satz (ableitung einer logarithmusfunktion) (1) f(x) = ln(x) w f’(x) = 1 _ x (2) f(x) = log a (x) w f’(x) = 1 __ x · ln(a) (a ≠ 1) Beweis : (1) Die Funktion g mit g(x) = ln(x) ist die Umkehrfunktion der Funktion f mit f(x) = e x. Nach der Umkehrregel ergibt sich: g’(x) = 1 _ f’(g(x)) = 1 _ e g(x) = 1 _ e ln(x) = 1 _ x (2) Die Funktion g mit g(x) = log ax ist die Umkehrfunktion der Funktion f mit f(x) = a x. Nach der Umkehrregel ergibt sich: g’(x) = 1 _ f’(g(x)) = 1 __ a g(x)· ln(a) = 1 __ a log a (x)· ln(a) = 1 __ x · ln(a) 7. 62 Leite die Quadratwurzelregel mit Hilfe der Umkehrregel her! lösung: Die Funktion g mit g(x) = 9_ xist die Umkehrfunktion der auf R 0 +definierten Funktion f mit f(x) = x2. Es ist f’(x) = 2x. Nach der Umkehrregel ergibt sich: g’(x) = 1 _ f’(g(x)) = 1 _ 2g(x) = 1 _ 2 9_ x aufgaBen 7. 63 Berechne f’(x)! a) f(x) = 2 · ln(x) b) f(x) = ln(2x) c) f(x) = 3 · ln(x 2) d) f(x) = 5 · (lnx) 2 7. 64 Berechne f’(x)! a) f(x) = log 2(x) b) f(x) = log 3(x) c) f(x) = log 2(x + 3) d) f(x) = log 4(x 4) 7. 65 Wie groß ist die Steigung der Funktion f an der Stelle x = 15? a) f(x) = 5 · ln(2x) b) f(x) = 5 · log 10(2x) c) f(x) = 5 · log 2(2x) L x f t y z L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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