152 7 erwei terung der Di fferent ialrechnung Funktionsuntersuchungen 7. 66 Ermittle den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f! Untersuche f bezüglich Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extremstellen und Wendestellen! Zeichne den Graphen von f mit Technologieeinsatz! a) f(x) = ln(x) b) f(x) = log 10(x) 7. 67 Ermittle den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f! Untersuche f bezüglich Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extremstellen und Wendestellen! a) f(x) = log a (x) (mit a > 1) b) f(x) = log a (x) (mit 0 < a < 1) 7. 68 Ermittle den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f! Untersuche f bezüglich Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extremstellen und Wendestellen! Gib vorhandene Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Graphen von f an und zeichne diesen mit Technologieeinsatz! a) f(x) = x · ln(x) b) f(x) = ln(x) _ x c) f(x) = 1 + ln(x) d) f(x) = log 10(10x) 7. 69 Nebenstehend ist der Graph der Funktion f mit f(x) = x – (x – 1) · ln(x – 1) abgebildet. 1) Gib den größtmöglichen Definitionsbereich von f an! 2) Zeige durch Rechnung, dass der Graph von f genau einen Hochpunkt H, aber keinen Tiefpunkt besitzt! Berechne die Koordinaten von H! 3) Begründe, dass f im gesamten Definitionsbereich rechtsgekrümmt ist! 4) Begründe, dass f genau eine Nullstelle besitzt und dass diese im Intervall (4; 5) liegt! Potenzregel für reelle exponenten Mit Hilfe der Ableitungsregel für ex und ln(x) können wir die Potenzregel verallgemeinern. Auf Seite 32 haben wir diese Regel nur für natürliche Exponenten bewiesen. Sie gilt aber für beliebige reelle Exponenten. satz (Potenzregel für reelle exponenten) Für alle x * R+ und alle r * R gilt: f(x) = x r w f’(x) = r · x r – 1 Beweis : f(x) = x r= 2 e ln(x) 3 r= e r · ln(x) Nach der Kettenregel folgt: f’(x) = e r · ln(x) · r · 1 _ x= 2 e ln(x) 3 r · r · 1 _ x= x r · r · 1 _ x= r · x r – 1 7. 70 Leite die Quadratwurzelregel mit Hilfe der Potenzregel für reelle Exponenten her! lösung: f(x) = 9 _ x= x 1 _ 2 w f’(x) = 1 _ 2· x – 1 _ 2 = 1 _ 2 · 1 _ x 1 _ 2 = 1 _ 2 · 9_ x aufgaBen 7. 71 Ermittle f’(x)! a) f(x) = x 3 _ 2 b) f(x) = x – 2,5 c) f(x) = π · x 9_ 2 d) f(x) = 3 9__ x 2+ 5 9__ x 3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 1 2 – 2 – 1 0 f L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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