154 7 erwei terung der Di fferent ialrechnung aufgaBen 7. 73 Ein Behälter hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge 2m und der Höhe 6m (siehe nebenstehende Abbildung). In den Behälter fließt Wasser mit der konstanten Zuflussgeschwindigkeit von 10 ®/min ein. 1) Stelle eine Formel auf, die jedem Zeitpunkt t die Wasserhöhe h(t) im Behälter zuordnet! 2) Wie schnell steigt die Wasserhöhe nach 3min? 3) Wie schnell steigt die Wasserhöhe, wenn das Wasser gerade 3m hoch ist? 4) Wie schnell steigt die Wasserhöhe, wenn das volumen des Wassers im Behälter gerade 2m 3 beträgt? 7. 74 Ein Trog hat die nebenstehend abgebildete Gestalt (Maße in Meter). Es fließt Wasser mit der konstanten Zuflussgeschwindigkeit von 10 ® pro Minute ein. 1) Stelle eine Formel auf, die jedem Zeitpunkt t die Wasserhöhe h(t) im Trog zuordnet! 2) Wie schnell steigt die Wasserhöhe nach 15min? 3) Wie schnell steigt die Wasserhöhe, wenn das Wasser gerade 0,5m hoch steht? 4) Wie schnell steigt das Wasser, wenn sich im Trog gerade 1 000 ® befinden? 7. 75 Eine 5m lange Leiter lehnt an einer Hausmauer (siehe nebenstehende Abbildung). Jemand zieht das untere Ende der Leiter mit einer Geschwindigkeit von 3m/s längs des Bodens weg. (Zum Zeitpunkt t = 0 sei x = 0.) 1) Stelle eine Formel auf, die jedem Zeitpunkt t die Höhe y (t) des oberen Endes der Leiter zuordnet! 2) Wie schnell sinkt das obere Ende der Leiter längs der Hausmauer, wenn das untere Ende von dieser gerade 3m entfernt ist? 7. 76 Der Scheinwerfer eines Leuchtturms L, der 5km vom nächstgelegenen Punkt A an der geradlinigen Küstenlinie entfernt ist, dreht sich mit 2 Umdrehungen pro Minute. 1) Stelle eine Formel für die von A aus gemessene Entfernung s(t) desjenigen Punktes auf, in dem der Lichtstrahl auf die Küste trifft! Dabei sei – π _ 2 < φ (t) < π _ 2und für t = 0 soll der Lichtstrahl auf A treffen. 2) Wie schnell wandert der Lichtstrahl im Punkt A bzw. in den 3 km von A entfernten Punkten B und C die Küstenlinie entlang? 7. 77 Ein Riesenrad von 15m Durchmesser, dessen Mittelpunkt M 10m über dem Boden liegt, dreht sich im Gegenuhrzeigersinn mit einer Umdrehung pro Minute. 1) Stelle eine Formel auf, die jedem Zeitpunkt t die Höhe h(t) des Aufhängepunktes P einer Kabine zuordnet, wobei für t = 0 der Punkt P sich in der Höhe des Mittelpunktes des Riesenrads befindet! 2) Wie schnell steigt der Punkt P, wenn er gerade 12m hoch ist? L 2 6 h (t) a (t) h (t) 1 2 1 y x 5 3 s (t) φ (t) 3 5 L A B C 10 h (t) φ (t) M P Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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