196 10 Wahrscheinl ichkei ts vertei lungen BeisPiel 3 : Anzahl von „Kopf“ bei dreimaligem Münzwurf Eine Münze wird dreimal geworfen und die Anzahl von „Kopf“ wird gezählt. Diese Anzahl kann die Werte 0, 1, 2 oder 3 annehmen. Um die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Werte zu bestimmen, zeichnen wir ein Baumdiagramm, in dem „Kopf“ mit K und „Zahl“ mit Z abgekürzt ist. Daraus ergibt sich: P(0-mal Kopf) = 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 = 1 _ 8 P(1-mal Kopf) = 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 + 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 + 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 = 3 _ 8 P(2-mal Kopf) = 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 + 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 + 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 = 3 _ 8 P(3-mal Kopf) = 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 = 1 _ 8 Diese Wahrscheinlichkeiten sind in der folgenden Tabelle eingetragen und im Stabdiagramm dargestellt. Anzahl von Kopf 0 1 2 3 Wahrscheinlichkeit 1 _ 8 3 _ 8 3 _ 8 1 _ 8 BeisPiel 4 : Wurfanzahl bis zum ersten sechser Ein Würfel wird so lange geworfen, bis ein Sechser kommt. Die Anzahl der dafür notwendigen Würfe wird festgehalten. Die Wurfanzahl bis zum ersten Sechser kann die unendlich vielen Werte 1, 2, 3, … annehmen. Um die Wahrscheinlichkeiten für diese Werte zu bestimmen, zeichnen wir das untenstehende Baumdiagramm, das wir uns ohne Ende fortgesetzt denken. Daraus ergibt sich: P(Sechser kommt beim ersten Wurf) = 1 _ 6 ≈ 0,167 P(Sechser kommt beim zweiten Wurf) = 5 _ 6 · 1 _ 6 ≈ 0,139 P(Sechser kommt beim dritten Wurf) = 2 5 _ 6 3 2 · 1 _ 6 ≈ 0,116 Durch eine Fortsetzung dieser Überlegung ergibt sich allgemein: P(Sechser kommt beim n-ten Wurf) = 2 5 _ 6 3 n – 1 · 1 _ 6 Diese Wahrscheinlichkeiten sind in der folgenden Tabelle eingetragen und im Stabdiagramm dargestellt. Wurfanzahl 1 2 3 … n Wahrscheinlichkeit 1 _ 6 ≈ 0,167 5 _ 6 · 1 _ 6 ≈ 0,139 2 5 _ 6 3 2 · 1 _ 6 ≈ 0,116 … 2 5 _ 6 3 n – 1 · 1 _ 6 K z K z K z K z K z K z K z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Anzahl von Kopf P 1 2 3 0 3 8 1 8 6 ¬ 6 6 ¬ 6 6 ¬ 6 1 6 5 6 1 6 5 6 1 6 5 6 Wurfanzahl bis zum ersten Sechser P 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0,2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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