197 10 . 2 zuFallsvariaBlen und Wahrscheinl ichkei tsvertei lungen In jedem dieser Beispiele liegt ein zufallsversuch vor (Wurf eines Würfels, Wurf zweier Würfel, dreimaliger Münzwurf, Würfeln bis zum ersten Sechser). Bei jedem Zufallsversuch haben wir eine variable betrachtet, die verschiedene Zahlen als Werte annehmen kann.: Variable Variablenwerte Beispiel 1 Augenzahl 1, 2, 3, 4, 5, 6 Beispiel 2 Augensumme 2, 3, 4, …, 12 Beispiel 3 Kopfanzahl 0, 1, 2, 3 Beispiel 4 Wurfanzahl bis zum ersten Sechser 1, 2, 3, 4, … Jedem Ausgang des Zufallsversuchs wird ein Wert der Variablen zugeordnet. So wird etwa im Beispiel 2 dem Ausgang (1 1 1) der Augensummenwert 2, dem Ausgang (1 1 2) der Augensummenwert 3 zugeordnet usw. Welchen Wert die Variable tatsächlich annimmt, kann man aber vor der Durchführung des Zufallsversuchs nicht sagen. Der Wert hängt vom Zufall ab. Deshalb bezeichnet man solche Variablen als zufallsvariablen. Die Werte einer Zufallsvariablen müssen nicht unbedingt Zahlen sein. Zum Beispiel sind die Werte der Zufallsvariablen „Augenfarbe“ bei der zufälligen Auswahl einer Person aus einer Personenmenge: braun, blau, grün usw. Man kann jedoch diese Werte durch Zahlen verschlüsseln, zum Beispiel: 1 = braun, 2 = blau, 3 = grün, usw. Wir können also im Folgenden der Einfachheit halber annehmen, dass die Werte einer Zufallsvariablen reelle Zahlen sind. Definition Eine zufallsvariable ordnet jedem Ausgang eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zu. Zufallsvariablen bezeichnen wir mit Großbuchstaben. Nimmt eine Zufallsvariable X bei einer konkreten Versuchsdurchführung den Wert a an, schreiben wir X = a. Darüber hinaus verwenden wir folgende Bezeichnungen für Wahrscheinlichkeiten: P(X = a) = Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert a annimmt. P(X > a) = Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert größer als a annimmt. P(X < a) = Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner als a annimmt. P(a < X < b) = Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen a und b annimmt. Analog sind die Schreibweisen P(X ª a), P(X º a), P(a ª X ª b), P(a ª X < b) und P(a < X ª b) zu verstehen. Wahrscheinlichkeitsverteilungen In den vorangegangenen Beispielen haben wir Zufallsvariablen X mit endlich vielen möglichen Werten a 1 , a 2 , …, a k oder abzählbar vielen möglichen Werten a 1 , a 2 , a 3… betrachtet. „Abzählbar“ bedeutet hier, dass man die unendlich vielen Werte von X mit Hilfe der natürlichen Zahlen als Indizes durchnummerieren kann. Zufallsvariablen mit endlich vielen bzw. abzählbar vielen möglichen Werten bezeichnet man als diskrete zufallsvariablen [discretus, lat. = getrennt]. Definition Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den endlich vielen möglichen Werten a 1 , a 2 , …, a kbzw. abzählbar vielen möglichen Werten a 1 , a 2 , a 3…. Die Funktion P: a i ¦ P(X = a i ) heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion von X oder Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Die Funktion F: a i ¦ P(X ª a i ) heißt verteilungsfunktion von X. R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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