48 3 Untersuchen von Polynomfunkt ionen 3 . 2 Funktionsverlauf und erste ableitung Bedingungen für Monotonie und extremstellen 3 . 07 Nebenstehend ist eine Polynomfunktion f dargestellt und es sind einige Tangenten eingezeichnet. Lässt sich 1) im Intervall [a; b], 2) im Intervall [b; c], 3) an der Stelle b, 4) an der Stelle d ein Zusammenhang zwischen der Tangentensteigung und dem Verlauf von f erkennen? lösung: 1) An jeder Stelle x * (a; b) ist die Tangentensteigung positiv, also f’(x) > 0. Obwohl dies nur für die inneren Stellen des Intervalls [a; b] gilt, ist die Funktion f im gesamten Intervall [a; b] streng monoton steigend. 2) An jeder Stelle x * (b; c) ist die Tangentensteigung negativ, also f’(x) < 0. Obwohl dies nur für die inneren Stellen des Intervalls [b; c] gilt, ist die Funktion f im gesamten Intervall [b; c] streng monoton fallend. 3) An der Stelle b ist die Tangentensteigung gleich 0 (weil die Tangente parallel zur x-Achse ist), also f ’(b) = 0. Da f links von b streng monoton steigend und rechts von b streng monoton fallend ist, ist b eine lokale Maximumstelle von f. 4) An der Stelle d ist die Tangentensteigung gleich 0, also f ’(d) = 0. Da aber f links und rechts von d streng monoton steigend ist, ist d keine lokale Maximumstelle von f. Aufgrund dieser Aufgabe lassen sich einige Sätze vermuten. Zur Formulierung dieser Sätze verwenden wir folgende Definition: Definition Bei einer Aussage der Form A w B sagt man: a ist eine hinreichende Bedingung für B und B ist eine notwendige Bedingung für a. Man sagt auch: „A ist hinreichend für B“ bzw. „B folgt notwendig aus A“. Monotoniesatz (hinreichende Bedingung für strenge Monotonie in einem intervall) Ist f: A ¥ ℝ eine Polynomfunktion und I a A ein Intervall, dann gilt: (1) f’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f streng monoton steigend in i (2) f’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I w f streng monoton fallend in i Der Monotoniesatz ist nicht umkehrbar. Es gilt zum Beispiel nicht: f streng monoton steigend in I w f’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I Ein Gegenbeispiel stellt die Funktion f mit f(x) = x 3dar (siehe die nebenstehende Abbildung). Die Funktion f ist streng monoton steigend in ganz ℝ, aber es ist f’(0) = 0, wie man leicht nachrechnen kann. R a b c d x f(x) f x f(x) 1 2 3 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 3 – 2 – 1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
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