50 3 Untersuchen von Polynomfunkt ionen 3 . 3 Untersuchen von Polynomfunktionen mit hilfe der ersten ableitung Monotonieintervalle und lokale extremstellen 3 . 09 Gegeben ist die Polynomfunktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = x 3– 6x 2+ 9x – 2. Ermittle ohne Technologieeinsatz die Extremstellen von f sowie die Bereiche, in denen f streng monoton steigt bzw. fällt! Skizziere den Graphen von f! lösung: Wir berechnen zuerst die Ableitung von f: f(x) = x 3– 6x 2+ 9x – 2 w f’(x) = 3x 2– 12x + 9 Da an einer lokalen Extremstelle die Ableitung f’ notwendigerweise null ist, kommen als lokale Extremstellen von f nur die Nullstellen von f’ in Frage. Daher bestimmen wir diese: f ’(x) = 0 É 3x 2– 12x + 9 = 0 É x = 1 = x = 3 (Rechne nach!) Durch die Nullstellen von f’ wird der Definitionsbereich von f in die Intervalle (– •; 1], [1; 3] und [3; •) zerlegt (Abb. 3.4a). Diese Intervalle nennt man Monotonieintervalle von f, weil f in diesen Intervallen jeweils ein einheitliches, streng monotones Monotonieverhalten aufweist. (Denn würde sich im Inneren eines dieser Intervalle die strenge Monotonie ändern, müsste im Inneren dieses Intervalls eine weitere Nullstelle von f’ liegen.) Um jeweils die Art der Monotonie in diesen Monotonieintervallen festzustellen, berechnen wir die Funktionswerte an den Stellen 1 und 3 sowie an einer Stelle links von 1 und einer rechts von 3, etwa: f(0) = – 2, f(1) = 2, f(3) = – 2, f(4) = 2 Wir tragen die zugehörigen Punkte ein und sehen, dass f in (– •; 1] streng monoton steigend, in [1; 3] streng monoton fallend und in [3; •) streng monoton steigend sein muss (Abb. 3.4b). An den Stellen 1 und 3 ändert die Funktion f ihr Monotonieverhalten. Da f links von 1 streng monoton steigend und rechts von 1 streng monoton fallend ist, ist 1 eine lokale Maximumstelle von f. Da f links von 3 streng monoton fallend und rechts von 3 streng monoton steigend ist, ist 3 eine lokale Minimumstelle von f. Wir zeichnen im Hoch- bzw. Tiefpunkt kurze Tangentenstücke parallel zur x-Achse ein und skizzieren den Graphen. Abb. 3.4a Abb. 3.4b Abb. 3.4 c Merke: Für jede nicht konstante Polynomfunktion lässt sich der Definitonsbereich in Monotonieintervalle (dh. Intervalle mit einheitlichem, strengen Monotonieverhalten) zerlegen. ermittlung von extremstellen und Monotoniebereichen mit technologieeinsatz Man gibt eine Termdarstellung der Funktion ein und lässt sich die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen ausgeben. Daraus schließt man auf die Monotonieintervalle. R 0 1 2 3 4 f (x) 1 2 3 –1 –1 –2 x streng monoton streng monoton streng monoton 0 1 2 3 4 f (x) 1 2 3 –1 –1 –2 x streng monoton steigend streng monoton fallend streng monoton steigend 0 1 2 3 4 f (x) 1 2 3 –1 –1 –2 x streng monoton steigend f streng monoton fallend streng monoton steigend kompakt seite 78 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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