51 3 . 3 Untersuchen von Polynomfunkt ionen mi t hi lfe der ersten ablei tung aufgaben 3 .10 Ermittle die Monotonieintervalle und lokalen Extremstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ! Gib die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f an (sofern vorhanden) und zeichne den Graphen! a) f(x) = x2 + x – 6 d) f(x) = – x2 + 2x g) f(x) = (x – 2)(x + 4) b) f(x) = x2 – 5x + 6 e) f(x) = 4x – x2 h) f(x) = (x + 1)(x + 4) c) f(x) = – x2 – x + 6 f) f(x) = x2 + 4x + 4 i) f(x) = (x + 7)(x + 1) 3 .11 Ermittle die Monotonieintervalle und lokalen Extremstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ! Gib die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f an (sofern vorhanden) und zeichne den Graphen! a) f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 1 d) f(x) = x – x3 g) f(x) = x (x2 – 3) + 1 b) f(x) = x3 + 3x2 + 3x e) f(x) = x3 – x2 h) f(x) = x(x2 + x) c) f(x) = x3 – 3x2 + 5 f) f(x) = – x(x2 + x) – 1 i) f(x) = – (x2 + 2x + 1)x 3 .12 Ermittle das Monotonieverhalten der Funktion f: ℝ ¥ ℝ und zeichne den Graphen von f! a) f(x) = x5 – x4 b) f(x) = x5 – 5x c) f(x) = 0,05x5 – x2 d) f(x) = 0,05x6 – 0,3x4 terrassenstellen 3 .13 Ermittle die Monotonieintervalle und lokalen Extremstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = 1 _ 9· (– x 4+ 8x 3– 18x 2+ 36) und skizziere den Graphen dieser Funktion! lösung: Nullstellen der Ableitung: f ’(x) = 1 _ 9· (– 4x 3+ 24x 2– 36x) f ’(x) = 0 É x = 0 = x = 3 Monotonieintervalle: (– •; 0], [0; 3], [3; •) Aus f(– 1) = 1, f(0) = 4, f(3) = 1 und f(4) = 4 _ 9folgt: f ist in (– •; 0] streng monoton steigend, in [0; 3] streng monoton fallend und in [3; •) streng monoton fallend. Da f links von 0 streng monoton steigend und rechts von 0 streng monoton fallend ist, ist 0 eine lokale Maximumstelle von f. 3 ist keine lokale Extremstelle von f, da f an der Stelle 3 das strenge Monotonieverhalten nicht ändert und es daher in jeder Umgebung von 3 Werte größer als f(3) und Werte kleiner als f(3) gibt. Definition Sei f eine nicht konstante Polynomfunktion. Eine Stelle p heißt terrassenstelle oder sattelstelle von f, wenn f ’(p) = 0 ist und sich das Monotonieverhalten von f an der Stelle p nicht ändert. Der zugehörige Punkt (p 1 f(p)) heißt terrassenpunkt oder sattelpunkt des Graphen von f. In der Aufgabe 3.13 ist 3 eine Terrassenstelle von f und (3 1 1) ein Terrassenpunkt. aufgaben 3 .14 Ermittle die Monotonieintervalle, die lokalen Extremstellen sowie die Terrassenstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ und skizziere den Graphen dieser Funktion! a) f(x) = – 2x 3+ 1 c) f(x) = 1 _ 2· (x 3+ 3x 2+ 3x + 2) e) f(x) = 1 _ 4 x 4 + 4 _ 3x 3+ 2x 2 b) f(x) = x 3– 9x 2+ 27x + 6 d) f(x) = 3x 4– 8x 3+ 16 f) f(x) = – x 4+ 4x 3– 4 R R 0 1 ‒ 1 2 3 4 x f(x) 1 2 3 4 f R Ó lernapplet r2y2fp Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=