56 3 Untersuchen von Polynomfunkt ionen Wendestellen Definition Sei f: A ¥ ℝ eine Polynomfunktion. Eine Stelle p * A heißt Wendestelle von f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt (p 1 f(p)) heißt Wendepunkt des Graphen von f. Die Tangente an den Graphen von f im Wendepunkt heißt Wendetangente. In einem Wendepunkt berührt der Graph der Polynomfunktion f die Wendetangente und wechselt dort auf die andere Seite der Tangente (siehe obige Abbildung). Daher ist es beim Zeichnen des Graphen mit der Hand oft nützlich, die Wendetangente einzuzeichnen. Dass eine Polynomfunktion f an einer Wendestelle p das Krümmungsverhalten ändert, bedeutet: Auf der einen Seite von p nimmt f’(x) zu, auf der anderen ab oder umgekehrt. Somit ist p eine lokale Maximumstelle oder lokale Minimumstelle der Funktion f’. Wir halten dies fest: satz Eine Wendestelle p einer Polynomfunktion f ist eine lokale extremstelle der ableitung f’. Dass eine Polynomfunktion f an einer Wendestelle p das Krümmungsverhalten ändert, bedeutet auch, dass f’’ an der Stelle p das Vorzeichen ändert. Daraus folgt, dass f’’(p) = 0 sein muss. Es gilt also: satz (Notwendige Bedingung für eine Wendestelle) Für jede Polynomfunktion f gilt: p ist eine Wendestelle von f w f’’(p) = 0 Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Ein Gegenbeispiel stellt die Funktion f mit f(x) = x 4dar (siehe nebenstehende Abbildung). Es ist f’’(x) = 12x 2und somit f’’(0) = 0, aber 0 ist keine Wendestelle von f. Die Bedingung f’’(p) = 0 ist somit eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung dafür, dass p eine Wendestelle von f ist. Man erhält jedoch eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen einer Wendestelle, wenn man neben f’’(p) = 0 noch eine zusätzliche Voraussetzung verlangt: satz (hinreichende Bedingung für eine Wendestelle) Ist f: A ¥ ℝ eine Polynomfunktion, I a A ein Intervall und p eine innere Stelle von I, dann gilt: f’’(p) = 0 ? f’’’(p) ≠ 0 w p ist Wendestelle von f Beweis : f’’(p) = 0 ? f’’’(p) ≠ 0 w (f’)’(p) = 0 ? (f’)’’(p) ≠ 0 w p ist lokale Extremstelle von f’ w w p ist Wendestelle von f R f Wendetangente Wendepunkt Wendestelle p f (p) x f(x) 1 2 – 2 – 1 1 2 3 – 1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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