57 3 . 4 Funkt ionsverlauf und höhere ablei tungen 3 . 26 Ermittle ohne Technologieeinsatz die Wendestellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = x 3– 6x 2+ 9x – 4! Gib außerdem die Koordinaten der Wendepunkte sowie Gleichungen der Wendetangenten an! lösung: Ableitungen von f: f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 4 f’(x) = 3x2 – 12x + 9 f’’(x) = 6x – 12 f’’’(x) = 6 Aufgrund der notwendigen Bedingung für Wendestellen kommen als Wendestellen von f nur die Nullstellen von f’’ in Frage. Daher ermitteln wir diese: f’’(x) = 0 É 6x – 12 = 0 É x = 2 Mit der hinreichenden Bedingung für Wendestellen ergibt sich: f’’(2) = 0 ? f’’’(2) = 6 ≠ 0 w 2 ist Wendestelle von f Wendepunkt: W = (2 1 f(2)) = (2 1 – 2) Steigung der Wendetangente: k = f’(2) = – 3 Ein Richtungsvektor der Wendetangente ist (1 1 k), ein Normalvektor somit (– k 1 1) = (3 1 1). Damit ergibt sich die folgende Gleichung der Wendetangente: t: 3x + y = 3 · 2 + 1 · (– 2) w t: 3x + y = 4 Mit technologieeinsatz lassen sich solche Aufgaben ebenso lösen. Wenn man eine Termdarstellung eingibt, erhält man ein Bild des Graphen. Durch geeignete Befehle erhält man die Wendepunkte. aufgaben 3 . 27 Nebenstehend ist eine Polynomfunktion vom Grad 4 dargestellt. a) Lies aus dem Graphen die Nullstellen, die lokalen Extremstellen und die Wendestellen von f ab! b) Gib die Monotoniebereiche von f sowie die jeweilige Art der Monotonie an! c) Gib die Krümmungsbereiche von f sowie die jeweilige Art der Krümmung an! d) Besitzt f eine Sattelstelle? Wenn ja, gib diese an! 3 . 28 Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen der Funktion f und gib die Koordinaten der Wendepunkte sowie Gleichungen der Wendetangenten an! a) f(x) = x3 – x2 + 2 g) f(x) = (x – 3)(x + 2)(x – 4) b) f(x) = x3 – 4x + 4 h) f(x) = x4 + x3 c) f(x) = x3 – x2 + x + 1 i) f(x) = 3x3 – 9x2 + 2x – 1 d) f(x) = (x – 6)(x + 3)(x – 3) j) f(x) = x3 – 6x2 + 8x + 7 e) f(x) = – 2x3 + 3x2 k) f(x) = x4 + 4x3 – 18x2 + 12x f) f(x) = x3 – x + 1 l) f(x) = x4 + 3x3 + 3x2 – x – 5 kompakt seite 78 R Ó arbeitsblatt s789ws 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 –1 –2 f –5 –4 –3 –2 –1 x f (x) Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv
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