65 3 . 6 aufsuchen von Polynomfunkt ionen 3 . 74 Die Form eines zwischen zwei gleich hohen Aufhängepunkten A und B verlaufenden Seils lässt sich annähernd durch eine Polynomfunktion vom Grad 2 beschreiben, wenn der „Durchhang“ d klein im Vergleich zur „Spannweite“ s ist. In nebenstehender Abbildung sei s = 36 und d = 5 (beides in Meter). 1) Berechne die Steigungen des Seils in den Aufhängepunkten A und B! 2) Berechne das Maß α der Winkel, die das Seil in den Aufhängepunkten A und B mit der Horizontalen einschließt! 3) Berechne den Betrag der Zugkraft Z in jeweils einem Aufhängepunkt, wenn das Gewicht des Seils G = 500 N (Newton) beträgt. hinweis : Das Gewicht verteilt sich je zur Hälfte auf die beiden Aufhängepunkte. 3 . 75 Das Drahtseil einer Seilbahn überbrückt einen Graben von 100m Breite bei einem Höhenunterschied von 25m. Seine Form kann näherungsweise durch eine Polynomfunktion vom Grad 2 beschrieben werden. Im unteren Aufhängepunkt A hat f die Steigung – 1 _ 4. 1) Gib eine Termdarstellung dieser Polynomfunktion an! 2) An welcher Stelle ist das Seil am tiefsten und wie tief liegt es dort unter dem Aufhängepunkt A? 3) Ab welcher Stelle ist das Seil mindestens so hoch wie A? 4) Wie groß ist der Winkel β, unter dem das Seil im oberen Aufhängepunkt B zur Horizontalen geneigt ist? angabe von Bedingungen für Koeffizienten 3 . 76 Welche Bedingung müssen a, b und c erfüllen, damit die Ableitung der Polynomfunktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d und a ≠ 0 1) keine Nullstelle, 2) genau eine Nullstelle, 3) genau zwei Nullstellen hat? 3 . 77 Bestimme a so, dass die Stelle 6 eine lokale Extremstelle der Polynomfunktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = x 3· (a – x) ist! Zeichne den Graphen von f! Für welche x * ℝ ist f(x) < 0? 3 . 78 Für welche Werte von p und q hat der Graph der Polynomfunktion f: ℝ ¥ ℝ ‡ x ¦ x 3+ px + q 1) einen Hoch- und einen Tiefpunkt, 2) einen Terrassenpunkt, 3) weder lokale Extrempunkte noch Terrassenpunkte? 3 . 79 Welche Beziehung muss zwischen den Koeffizienten a, b und c bestehen, damit der Graph der Polynomfunktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d und a ≠ 0 1) lokale Extrempunkte, 2) einen Terrassenpunkt, 3) weder lokale Extrempunkte noch einen Terrassenpunkt besitzt? 3 . 80 Welche Bedingung müssen die Koeffizienten a und b der Polynomfunktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = ax 6 + bx 4 und a ≠ 0 erfüllen, damit f zwei Wendestellen hat? hinweis : Überlege, dass der Graph von f symmetrisch zur 2. Achse ist und dass daher 0 keine Wendestelle von f sein kann! A α α B s d Z B G 2 0 = A β B 100 25 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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