75 3 . 8 eXtremwertaufgaben vereinfachen der zielfunktion satz a) Die Funktionen f: A ¥ ℝ ‡ x ¦ f(x) und _ f: A ¥ ℝ ‡ x ¦ c · f(x) mit c > 0 besitzen die gleichen Maximumstellen (Minimumstellen) in A. b) Nimmt die Funktion f in A nur nichtnegative Werte an, dann haben die Funktionen f: A ¥ ℝ ‡ x ¦ f(x) und _ f: A ¥ ℝ ‡ x ¦ [f(x)] 2die gleichen Maximumstellen (Minimumstellen) in A. Beweis : Wir führen die Beweise für Maximumstellen. Für Minimumstellen verlaufen diese analog. a) p ist Maximumstelle von f in A É f(x) ª f(p) für alle x * A É c · f(x) ª c · f(p) für alle x * A É _ f(x) ª _ f(p) für alle x * A É p ist Maximumstelle von _ fin A b) p ist Maximumstelle von f in A É f(x) ª f(p) für alle x * A É [f(x)] 2ª [f(p)] 2für alle x * A É É _ f(x) ª _ f(p) für alle x * A É p ist Maximumstelle von _ fin A Merke Im Term einer Zielfunktion darf ein positiver Faktor weggelassen werden. Der Term einer im Definitionsbereich nichtnegativen Zielfunktion darf quadriert werden. 3 .111 Ein Rechteck vom Umfang 2 dreht sich um eine seiner Seiten. Wie müssen die Seitenlängen des Rechtecks gewählt werden, damit der Inhalt der Mantelfläche des entstehenden Drehzylinders möglichst groß wird? lösung: M(x, y) = 2 π x · y Nebenbedingung: 2x + 2y = 2 y = 1 – x M(x) = 2 π x(1 – x) (0 ª x ª 1) Wir lassen den positiven Faktor 2 π weg: _ M(x) = x(1 – x) = x – x 2 (0 ª x ª 1) _ M’ (x) = 1 – 2x = 0 É x = 1 _ 2 _ M(0) = 0, _ M 2 1 _ 2 3 = 1 _ 4, _ M(1) = 0 Somit ist x = 1 _ 2eine globale Maximumstelle von _ Mund damit auch von M. Aus der Nebenbedingung ergibt sich: y = 1 – 1 _ 2 = 1 _ 2. Somit gilt: Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 _ 2. 3 .112 Welches unter allen einem Kreis vom Radius r eingeschriebenen Rechtecken hat den größten Flächeninhalt? lösung: A(x, y) = x · y Nebenbedingung: x 2+ y 2= 4r 2 y = 9 ____ 4r 2– x 2 (da y º 0) A(x) = x 9 ____ 4r 2– x 2 Weil stets A(x) º 0 ist, dürfen wir A(x) quadrieren: _ A(x) = x 2· (4r 2– x 2) = 4r 2x 2– x 4 (0 ª x ª 2r) _ A’ (x) = 8r 2x – 4x 3= 0 É 4x · (2r 2– x 2) = 0 É x = 0 = x = r 9_ 2 _ A(0) = 0, _ A(r 9_ 2) = 4r 4, _ A(2r) = 0 Daher ist x = r 9_ 2eine globale Maximumstelle von _ Aund damit auch von A. Aus der Nebenbedingung ergibt sich: y = 9 _____ 4r 2– 2r 2= r 9_ 2. Daher gilt: Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat mit der Seitenlänge r 9_ 2. L x y x y 2r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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