77 historisches zu eXtremwertaufgaben Extremwertaufgaben waren schon den alten Griechen bekannt. Bereits euklid (um ca. 300 v. Chr.) betrachtete die Aufgabe: Welches Rechteck mit vorgegebenem Umfang besitzt den größten Flächeninhalt (vgl. Aufgaben 3.95 und 3.99)? Er löste diese Aufgabe durch geometrische Überlegungen, die wir hier nachvollziehen wollen. Wir betrachten ein beliebiges Rechteck R (blau) und ein Quadrat Q mit der Seitenlänge s, das den gleichen Umfang wie das Rechteck R hat (rot unterlegt). Wir legen das Quadrat Q und das Rechteck R wie in obiger Abbildung übereinander. Da Q und R den gleichen Umfang haben, müssen alle mit x bezeichneten Strecken die gleiche Länge haben. Das Teilrechteck A hat den Flächeninhalt (s – x) · x und das Teilrechteck B hat den Flächeninhalt s · x. Wegen s > s – x ist der Flächeninhalt von B größer als der von A. Somit ist auch der Flächeninhalt des Quadrats Q = B ± C größer als der des Rechtecks R = A ± C. Da das Rechteck R ein beliebiges Rechteck war, folgt, dass das Quadrat das flächengrößte Rechteck mit vorgegebenem Umfang ist. Im 17. Jahrhundert wurden Extremwertaufgaben mit Methoden behandelt, die im Prinzip schon den Methoden der Differentialrechnung entsprochen haben. Pierre de Fermat (1601 –1665) löste die obige Aufgabe folgendermaßen. Er bezeichnet den gegebenen Umfang mit 2a und die Seitenlängen des Rechtecks mit x und a – x. Das Problem besteht darin, jenen Wert von x zu finden, für den der Flächeninhalt A(x) = x(a – x) = ax – x2 den größten Wert annimmt. Fermat geht davon aus, dass sich bei einer sehr kleinen Änderung von x in der Nähe der Maximumstelle der Flächeninhalt nur sehr wenig ändert. Ist e eine sehr kleine positive Zahl, so gilt also näherungsweise: A (x – e) = A(x) (x – e)(a – x + e) = x(a – x) Rechne nach, dass sich diese Gleichung vereinfachen lässt zu: a – 2x = e Diese Beziehung ist umso besser erfüllt, je kleiner e ist. Setzt man e = 0, ergibt sich: a – 2x = 0 Daraus erhält man x = a _ 2 und a – x = a _ 2. Somit ist das Quadrat mit der Seitenlänge a _ 2das flächengrößte Rechteck mit dem Umfang 2a. Aus heutiger Sicht entspricht die Gleichung a – 2x = 0 der Gleichung A’(x) = 0. Fermat macht also nichts anderes als die 1. Ableitung von A gleich null zu setzen. Dass a _ 2eine Maximumstelle von A ist, ist aufgrund der Problemstellung klar und wird von Fermat nicht weiter begründet. Schon etwas früher (um 1610) hat Johannes Kepler auf ähnliche Weise ein damals übliches Verfahren zur Bestimmung des Volumens von Fässern kritisch untersucht. rené Descartes (1596 –1650) hat mit der Methode von Fermat die folgende Aufgabe behandelt: Eine Strecke ist so in zwei Strecken zu unterteilen, dass der aus dem Quadrat der einen Strecke und der anderen Strecke gebildete Quader ein maximales Volumen besitzt. euklid (ca. 300 v. Chr.) A C B x x x x s – x s historisches zu extremwertaufgaben L Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
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