85 4 .1 Der Kreis Die Gleichung (X – M) 2= r 2 bzw. (x – m 1) 2+ (y – m 2) 2= r 2 nennt man eine gleichung des Kreises k. Für M = O = (0 1 0) lautet diese Gleichung: X 2= r 2 bzw. x 2+ y 2= r 2 Wir halten fest: gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt M = (m 1 1 m 2) und dem Radius r: (X – M) 2= r 2 bzw. (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2= r 2 gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt O = (0 1 0) und dem Radius r: X 2= r 2 bzw. x 2+ y 2= r 2 4 . 01 Gib eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M = (2 1 1) und dem Radius r = 5 an! Untersuche, ob die Punkte P = (5 1 5) und Q = (3 1 –5) auf dem Kreis liegen! lösUNg: k: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25 Für P gilt: (5 – 2)2 + (5 – 1)2 = 25 w P * k Für Q gilt: (3 – 2)2 + (– 5 – 1)2 ≠ 25 w Q + k 4 . 02 Gib eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt O = (0 1 0) und dem Radius r = 9__ 10an! Ermittle die Punkte auf dem Kreis mit 1) x = 1, 2) y = –2! Deute die Rechnung geometrisch! lösUNg: k: x2 + y2 = 10 1) Für x = 1 ergibt sich aus der Kreisgleichung: 12 + y2 = 10 w y = 3 = y = –3 Gesuchte Punkte: P1 = (1 1 3), P2 = (1 1 – 3) Man erhält diese Punkte geometrisch, wenn man den Kreis mit der Parallelen zur y-Achse durch den Punkt (1 1 0) schneidet. 2) Für y = –2 ergibt sich aus der Kreisgleichung: x2 + 4 = 10 w x = 9_ 6 = x = – 9_ 6 Gesuchte Punkte: Q1 = ( 9 _ 6 1 – 2), Q 2 = (– 9 _ 6 1 – 2) Man erhält diese Punkte geometrisch, wenn man den Kreis mit der Parallelen zur x-Achse durch den Punkt (0 1 – 2) schneidet. Mit technologieeinsatz lässt sich bei gegebenem Mittelpunkt und Radius eine Gleichung des Kreises und ein Bild des Kreises ermitteln. Dasselbe gilt, wenn der Kreis durch den Mittelpunkt und einen Punkt des Kreises gegeben ist oder wenn der Kreis durch drei Punkte gegeben ist. aUFgaBeN 4 . 03 Gib eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r an und ermittle acht Punkte auf dem Kreis! a) M = (0 1 0), r = 3 c) M = (– 3 1 – 3), r = 5 e) M = (3 1 2), r = 4 b) M = (3 1 1), r = 2 d) M = (0 1 2), r = 9__ 50 f) M = (6 1 –1), r = 9_ 5 4 . 04 Gib eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r an und berechne die Schnittpunkte des Kreises mit den Achsen! a) M = (7 1 1), r = 9 __ 65 c) M = (– 5 1 4), r = 4 b) M = (– 9 1 – 3), r = 9 __ 130 d) M = (0 1 0), r = 9_ 5 1 2 4 2 4 –2 –4 –2 –4 0 P1 Q1 Q2 P2 x y kompakt seite 95 L Ó lernapplet wh3n8j Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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