84 4 KREIS UND KUGEL lerNz iele 4 .1 Die Definition des Kreises kennen; Kreise in der Ebene durch gleichungen beschreiben können. 4 . 2 Die gegenseitige lage von Kreisen und geraden und allfällige schnittpunkte ermitteln können; gleichungen von tangenten aufstellen können. 4 . 3 Kugeln und deren tangentialebenen im Raum durch gleichungen beschreiben können. technologie kompakt Kompetenzcheck grUNdkoMPeteNzeN Kegelschnitte in der Ebene durch gleichungen beschreiben können; aus einer Kreisgleichung Mittelpunkt und Radius bestimmen können. Die gegenseitige lage von Kreis und gerade ermitteln können. Kugeln im Raum durch gleichungen beschreiben können. 4 .1 Der Kreis Definition und gleichung eines Kreises Definition Ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von M den Abstand r > 0 haben. Anhand der nebenstehenden Abbildung erkennt man, dass ein Punkt X genau dann auf dem Kreis k liegt, wenn gilt: _ MX= r bzw. †X – M† = r Da beide Seiten dieser Gleichung positiv sind, erhalten wir durch Quadrieren eine äquivalente Gleichung: (X – M) 2= r 2 Für X = (x 1 y) und M = (m 1 1 m 2) lautet diese Gleichung: (x – m 1) 2+ (y – m 2) 2= r 2 Wir haben somit bewiesen: satz Ist k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M = (m 1 1 m 2) * ℝ 2 und dem Radius r, dann gilt: X * k É (X – M) 2= r 2 bzw. (x 1 y) * k É (x – m 1) 2+ (y – m 2) 2= r 2 Der Kreis k kann als Punktmenge dargestellt werden: k = {X * ℝ 2 ‡ (X – M) 2= r 2} bzw. k = {(x 1 y) * ℝ 2 ‡ ( x – m 1) 2+ (y – m 2) 2= r 2} Wir nennen diese Punktmenge einen Kreis in ℝ 2 . ag- l 5 .1 ag- l 5 . 2 ag- l 5 . 3 L x y r X M 0 k m1 m2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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