87 4 .1 Der Kreis Quadratische gleichungen als Kreisgleichungen Quadriert man die Klammern in einer Kreisgleichung (x – m1) 2 + (y – m2) 2 = r2 aus, erhält man eine quadratische Gleichung der Form x2 + y2 + ax + by + c = 0. Stellt jede solche Gleichung einen Kreis dar? 4 .16 Untersuche, ob die folgende Gleichung einen Kreis darstellt! a) x 2+ y 2+ 8x – 2y – 32 = 0 b) x 2+ y 2– 2x + 3y + 5 = 0 lösUNg: Wir formen die Gleichung so um, dass Quadrate der Form (x – m 1) 2 bzw. (y – m 2) 2entstehen. a) x 2 + 8x + y 2– 2y = 32 É (x + 4) 2+ (y – 1) 2= 32 + 16 + 1 É (x + 4) 2+ (y – 1) 2= 49 Dies ist eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M = (– 4 1 1) und dem Radius r = 7. b) x 2 – 2x + y 2+ 3y = – 5 É (x – 1) 2+ 2 y + 3 _ 2 3 2 = – 5 + 1 + 9 _ 4 É (x – 1) 2+ 2 y + 3 _ 2 3 2 = – 7 _ 4 Es gibt keinen Punkt (x 1 y), der diese Gleichung 1222222222232222222225 12325 erfüllt. Es liegt also keine Kreisgleichung vor. º 0 < 0 4 .17 Welche Bedingung müssen die Koeffizienten der Gleichung x2 + y2 + ax + by + c = 0 erfüllen, damit diese Gleichung eines Kreises ist? lösUNg: Wir formen die Gleichung so um, dass Quadrate der Form (x – m1) 2 bzw. (y – m2) 2 entstehen. 2 x + a _ 2 3 2+ 2 y + b _ 2 3 2 + c = a 2 _ 4 + b2 _ 4 2 x + a _ 2 3 2+ 2 y + b _ 2 3 2 = a 2 + b2 – 4c __ 4 Dies ist genau dann eine Gleichung eines Kreises, wenn a2 + b2 – 4c > 0 bzw. a2 + b2 > 4c ist. In diesem Fall handelt es sich nämlich um den Kreis mit dem Mittelpunkt M = 2 – a _ 2 1 – b _ 2 3und dem Radius r = 1 _ 2 9 ______ a2 + b2 – 4c. Wir halten das Ergebnis der letzten Aufgabe fest: satz Die Gleichung x 2+ y 2+ ax + by + c = 0 ist genau dann gleichung eines Kreises, wenn a 2+ b 2> 4c ist. aUFgaBeN 4 .18 Stellt die folgende Gleichung einen Kreis dar? Wenn ja, gib Mittelpunkt und Radius an! a) x2 + y2 + 2x – 4y – 9 = 0 e) x2 + y2 + 4y – 5 = 0 b) x2 + y2 – 6x – 2y – 13 = 0 f) x2 + y2 + 5x – 3y – 10 = 0 c) x2 + y2 + 10x + 4y – 1 = 0 g) x2 + y2 – 2x + 2y – 1 = 0 d) 4x2 + 4y2 – 12x + 16y = 39 h) x2 + y2 + 8y = 9 4 .19 Kreuze diejenigen Gleichungen an, die einen Kreis mit dem Radius 10 darstellen! L kompakt seite 95 L x 2+ y 2– 10x + 10y – 50 = 0 x 2+ y 2– 4x – 84 = 0 x 2+ y 2– 12x – 16y = 0 x 2+ y 2+ 30y – 125 = 0 x 2+ y 2– 40x + 20y + 400 = 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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