88 4 Kreis UNd KUgel 4 . 2 Kreis UNd gerade gegenseitige lage und schnitt von Kreis und gerade satz Ein Kreis und eine Gerade haben entweder zwei Punkte, einen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam. BeWeis : Es sei k: (X – M)2 = r2 ein Kreis und g: X = P + t · _ À geine Gerade. Der Punkt X liegt genau dann auf dem Kreis k und der Geraden g, wenn gilt: (P + t · _ À g– M)2 = r2 4 t · _ À g+ (P – M) 5 2– r2 = 0 4 t · _ À g+ _ À MP 5 2– r2 = 0 _ À g 2 · t2 + 2 · 2 _ À g· _ À MP 3· t + _ À MP 2 – r2 = 0 Diese quadratische Gleichung in t hat zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Daher haben k und g zwei Punkte, einen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam. Definition Gegeben ist ein Kreis k und eine Gerade g. Die Gerade g heißt sekante von k, wenn g mit k genau zwei Punkte gemeinsam hat, tangente von k, wenn g mit k genau einen Punkt gemeinsam hat, Passante von k, wenn g mit k keinen Punkt gemeinsam hat. BeMerkUNg: secare (lat.) = schneiden, tangere (lat.) = berühren, passare (lat.) = vorbeigehen 4 . 20 Ermittle durch Rechnung die gegenseitige Lage des Kreises k: (x + 2) 2+ (y – 2) 2= 50 und der Geraden g! 1) g1: x + y = 8 2) g2: x + y = 10 3) g3: x + y = 12 lösUNg: 1) Ein Punkt (x 1 y) liegt genau dann auf dem Kreis k und der Geraden g, wenn gilt: { (x + 2)2 + (y – 2)2 = 50 x + y = 8 w y = 8 – x Einsetzen in die erste Gleichung liefert: (x + 2)2 + (8 – x – 2)2 = 50 x2 – 4x – 5 = 0 x = –1 = x = 5 Wir setzen diese Werte in die Gleichung y = 8 – x ein. Für x = –1 erhält man y = 9, für x = 5 erhält man y = 3. Schnittpunkte: S1 = (–1 1 9), S2 = (5 1 3). Die Gerade g1 ist eine Sekante des Kreises k. 2) Gehe analog zu 1) vor! Es ergibt sich die quadratische Gleichung x2 – 6x + 9 = 0. Diese Gleichung hat genau eine Lösung: x = 3. Es ergibt sich also genau ein Schnittpunkt: S = (3 1 7). Die Gerade g2 ist eine Tangente des Kreises k. 3) Gehe wiederum wie in 1) vor! Es ergibt sich die quadratische Gleichung x2 – 8x + 27 = 0. Diese Gleichung hat keine Lösung. Es ergibt sich also kein Schnittpunkt. Die Gerade g3 ist eine Passante des Kreises k. L g1 g3 g2 S2 S1 S Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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