91 4 . 2 Kreis UNd gerade 4 . 28 Ermittle eine Gleichung der Tangente aus Aufgabe 4.27 mit hilfe der Spaltform! lösUNg: k: (x – 2) 2+ (y – 1) 2= 25 t: (x T– 2) · (x – 2) + (y T– 1) · (y – 1) = 25 t: (6 – 2) · (x – 2) + (4 – 1) · (y – 1) = 25 t: 4x + 3y = 36 aUFgaBeN 4 . 29 Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Kreis k im Punkt T des Kreises! a) k: x 2+ y 2= 100, T = (– 8 1 t 2 ) mit t 2< 0 b) k: x 2+ y 2– 4x + 8y = 149, T = (7 1 t 2 ) mit t 2> 0 c) k: (x – 3) 2 + (y – 2) 2= 65, T = (t 1 1 – 5) mit t 1> 0 d) k: x 2+ y 2+ 10x + 8y + 1 = 0, T = (t 1 1 – 2) mit t 1< 0 4 . 30 Der Punkt T liegt auf dem Kreis k. Stelle eine Gleichung der Tangente an den Kreis k im Punkt T auf und ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks, das diese Tangente mit den positiven Koordinatenachsen einschließt! a) k: (x – 5) 2+ (y + 7) 2= 25, T = (9 1 t 2) mit t 2< 0 b) k: x 2+ (y – 3) 2= 65, T = (t 1 1 4) mit t 1> 0 tangenten von einem Punkt aus an einen Kreis 4 . 31 vom Punkt Q = (– 7 1 4) aus sind Tangenten an den Kreis k zu legen, der den Mittelpunkt M = (3 1 – 6) und den Radius r = 9__ 20hat. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte! lösUNg: Aus der Abbildung erkennt man, dass es zwei passende Tangenten t und t’ mit den Berührpunkten T und T’ gibt. Gleichung von k: (x – 3) 2+ (y + 6) 2= 20 Die Tangente t berührt den Kreis k im Punkt T = (t 1 1 t 2) . Es muss gelten: T * k w (t 1– 3) 2 + (t 2+ 6) 2= 20 _ À MT© _ À QT w ( t 1– 3 1 t 2+ 6) · (t 1+ 7 1 t 2– 4) = 0 Insgesamt erhalten wir folgendes Gleichungssystem: { (t 1– 3) 2+ (t 2+ 6) 2= 20 (t 1– 3) · (t 1+ 7) + (t 2+ 6) · (t 2– 4) = 0 { t 1 2+ t 2 2– 6t 1+ 12t 2+ 25 = 0 t 1 2+ t 2 2+ 4t 1+ 2t 2– 45 = 0 Um dieses Gleichungssystem zu vereinfachen, lassen wir die erste Gleichung unverändert und subtrahieren die zweite Gleichung von der ersten: { t 1 2+ t 2 2– 6t 1+ 12t 2+ 25 = 0 – 10t 1+ 10t 2+ 70 = 0 w t 2= t 1– 7 Einsetzen in die erste Gleichung liefert die quadratische Gleichung: t 1 2 + (t 1– 7) 2– 6t 1+ 12(t 1– 7) + 25 = 0 Löse diese Gleichung selbst! Es ergibt sich: t 1= 5 = t 1= –1 Für t1 = 5 erhält man t 2= – 2, für t1 = –1 erhält man t 2= – 8. Berührpunkte: T = (5 1 –2), T’ = (–1 1 – 8) L L 0 1 1 Q T T' t' t M k x y Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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