Mathematik verstehen 8, Schulbuch

216 12 Rei feprüfung: Analysis 12 . 51 Verschiedene Funktionstypen Die folgenden Graphen stellen drei Funktionen f, g und h dar, wobei f eine Polynomfunktion der Form x ¦ a · x 2 + b, g eine Exponentialfunktion der Form x ¦ c · a x und h eine Wurzelfunktion der Form x ¦ n 9 _ xdarstellt. Aufgabenstellung: a) 1) Beschriften Sie jeweils den Graphen mit f, g bzw. h und die 2. Achse mit f(x), g(x) bzw. h(x)! 2) Beschreiben Sie für jede der drei Funktionen den Verlauf der momentanen Änderungsrate in Worten und begründen Sie, dass diese Änderungsrate in ℝ + niemals kleiner als 0 wer- den kann! b) 1) Geben Sie an, wie die Ausdrücke : 0 16 f(x)dx, g’(16) und h(16) – h(0) __ 16 geometrisch interpretiert werden können! 2) Berechnen Sie für jede der Funktionen f, g und h den Inhalt der in [0; 16] festgelegten Fläche! 12 . 52 Wasserstrahl in einem Brunnen Über dem Rand eines b Meter breiten Brunnenbeckens ist in d Meter Höhe ein Rohr angebracht, aus dem ein Wasserstrahl ho- rizontal mit der Geschwindigkeit v (in m/s) austritt. Der Wasserstrahl trifft in der Horizontalentfernung w auf die Wasseroberfläche des Beckens auf. Für die Höhe h(x) des Was- serstrahls in der Horizontalentfernung x gilt ungefähr: h(x) = – 5 _ v 2 · x 2 + d (0 ª x ª w) Aufgabenstellung: a) 1) Es ist b = 1,79m und d = 1m. Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit der Wasser- strahl höchstens aus dem Rohr austreten darf, damit er nicht über den Beckenrand hinauskommt! 2) Es ist b = 1,75m und v = 3,5m/s. Berechnen Sie, wie hoch das Rohr höchstens angebracht werden darf, damit der Wasserstrahl noch auf der Wasseroberfläche auftrifft! b) 1) Es sind w = 1,8m und v = 3m/s fest vorgegeben. Ermitteln Sie das Maß des Winkels, den der Wasserstrahl mit der horizontalen Wasseroberfläche bildet, wenn er gerade auf die Wasseroberfläche auftrifft! 2) Zeigen Sie, dass allgemein gilt: Der Wasserstrahl befindet sich in drei Viertel der Rohrhöhe d, wenn er die halbe Horizontalentfernung w zurückgelegt hat. c) 1) Prüfen Sie, ob w bei konstantem d zu v direkt proportional ist! Begründen Sie die Entscheidung! 2) Prüfen Sie, ob w bei konstantem v zu d direkt proportional ist! Begründen Sie die Entscheidung! FA-R 1 . 2 AN-R 1 . 3 AN-R 2 .1 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 x 4 8 12 16 1 2 3 4 0 x 4 8 12 16 1 2 3 4 0 x 4 8 12 16 1 2 3 4 0 d x h (x) w b 0 AG-R 2 .1 AG-R 2 . 2 AG-R 2 . 3 FA-R 1 . 4 FA-R 2 . 6 AN-R 1 . 3 AN-R 2 .1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv