Mathematik verstehen 8, Schulbuch

30 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung Aufgaben 2 .16 Kann man den Inhalt A der grün unterlegten Gesamtfläche mit Hilfe der folgenden Formel darstellen? A = : a d (f – g) Wenn nicht, stelle ihn als Summe von Integralen dar! 2 .17 Der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f wird mit dem Ursprung O geradlinig verbunden. Wie groß ist der Inhalt der Fläche zwischen der Strecke OP und dem Graphen von f? a) f(x) = x 2 , P = (1 1 f(1)) b) f(x) = x 3 , P = (1 1 f(1)) 2 .18 Berechne den Inhalt der vom Graphen der Funktion f und der Geraden g begrenzten Fläche! a) f(x) = 1 _ 4 (x 2 – 2x – 8), g: x – 2y + 2 = 0 c) f(x) = 2 9 _ x, g: 2x – 3y + 4 = 0 b) f(x) = 4 – x 2 , g: y = – 2 d) f(x) = 9 _ x, g: x – 4y = 0 2 .19 Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der Geraden g begrenzt wird! a) f(x) = 9 – x 2 ; g ist die Parallele zur x-Achse durch den Punkt (0 1 7) b) f(x) = x 4 _ 4 – 8x 2 ; g ist die Tangente im Punkt (0 1 f(0)) 2 . 20 Auf dem Graphen der Funktion f liegen die Punkte P und Q. Berechne den Inhalt des Segments, das die Strecke PQ vom Graphen von f abschneidet! a) f(x) = 1 _ 4 x 2 + 1, P = (– 2 1 f(– 2)), Q = (4 1 f(4)) b) f(x) = 1 _ 9 x 3 – 1, P = (0 1 f(0)), Q = (3 1 f(3)) 2 . 21 Berechne den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche! a) f(x) = 2x 2 – 8, g(x) = x 2 + 4 c) f(x) = x 2 , g(x) = 3 – x 2 b) f(x) = x + 2, g(x) = – x 2 + 3x + 5 d) f(x) = 1 _ 4 (x 2 – 9), g(x) = 9 – x 2 2 . 22 Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das von den Graphen der Funktionen f und g begrenzt wird! In welchem Verhältnis wird dieses Flächenstück von der durch die Schnittpunkte der bei- den Funktionsgraphen verlaufenden Geraden geteilt? a) f(x) = x 2 – 2x + 1, g(x) = – 2x 2 + 10x + 16 c) f(x) = 2x 2 – x + 2, g(x) = – x 2 – 7x + 11 b) f(x) = – 5x 2 – 10x + 1, g(x) = 4x 2 – x – 17 d) f(x) = – 3x 2 + 12x + 5, g(x) = 2x 2 – 23x + 55 2 . 23 Die Gerade g: y – 0,5 = 0 schneidet vom Graphen der Funktion f mit f(x) = sin x im Intervall [0; π ] ein Segment ab. Berechne den Flächeninhalt dieses Segments! 2 . 24 Berechne den Inhalt der von den Graphen der Funktionen f und g sowie den Geraden x = 0 und x = 2 π eingeschlossenen Fläche! a) f(x) = sin x + 2, g(x) = sin x – 2 b) f(x) = cos x + 3, g(x) = cos x – 3 2 . 25 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 – cos x. Berechne den Inhalt der Fläche, die die Graphen der Funktionen f und – f im Intervall [0; 2 π ] einschließen! 2 . 26 Der Graph der Funktion f, die Gerade g und die x-Achse begrenzen eine Fläche. Berechne den Inhalt dieser Fläche! f(x) = x 2 , g: 7x – y – 6 = 0 R a b c d 0 f (x), g (x) x f g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv