Mathematik verstehen 8, Schulbuch

31 2 .1 Flächeninhalte 2 . 27 Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das von den Parabeln mit den Gleichungen y 2 = 3x und y 2 = 9 _ 2 · (x – 1) begrenzt wird! 2 . 28 Einem Quadrat mit der Seitenlänge a wird ein Parabelstück wie in nebenstehender Abbildung eingeschrieben. Archimedes hat gezeigt, dass die Parabel die Quadratfläche im Verhältnis 2 : 1 teilt. Beweise dies! 2 . 29 Zeige, dass der Graph der Funktion f mit f(x) = 1 _ 20 x 3 (x – 5) 2 + 2 genau einen Hochpunkt H = (h 1 1 h 2 ) und genau einen Tiefpunkt T = (t 1 1 t 2 ) mit h 1 < t 1 hat und berechne den Inhalt der von f im Intervall [h 1 ; t 1 ] festgelegten Fläche! 2 . 30 Es sei H der Hochpunkt und W der Wendepunkt des Graphen von f. Berechne den Flächeninhalt des Segments, das die Strecke HW vom Graphen von f abschneidet! a) f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x – 2 b) f(x) = – x 3 + 3x 2 – 5 2 . 31 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = – 4 _ 5 (x 2 – 4x – 5). Im Punkt P = (0 1 f(0)) wird die Tangente an den Graphen von f gelegt. Ermittle das Verhältnis, mit dem der Graph von f die von dieser Tan- gente und den Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche teilt! 2 . 32 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 1 _ 8 (x 3 – 6x 2 + 32) und die Gerade g: x – 2y + 2 = 0. 1) Zeige, dass die Gerade g durch den Wendepunkt des Graphen von f geht! 2) Berechne die beiden anderen Schnittpunkte der Geraden g mit dem Graphen von f! 3) Zeige, dass die Gerade g vom Graphen von f zwei Flächenstücke mit gleichem Inhalt abschneidet! 2 . 33 Die von der Funktion f mit f(x) = x 2 im Intervall [0; 3] festgelegte Fläche soll durch eine Parallele zur 2. Achse halbiert werden. Gib eine Gleichung dieser Parallelen an! 2 . 34 Der Graph der Funktion f mit f(x) = 4 – (x – 1) 4 besitze den Hochpunkt H = (h 1 1 h 2 ). Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der Geraden g: y = h 2 und der 2. Achse eingeschlossen wird! 2 . 35 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten a) A = (– 2 1 0), B = (6 1 0) und C = (0 1 6), b) A = (– 2 1 0), B = (8 1 0) und C = (0 1 8). 1) Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f und zeichne deren Graphen! 2) Berechne den Inhalt des Flächenstücks FL, das vom Graphen und der x-Achse begrenzt wird! 3) Bestimme eine Gleichung jener Geraden, die durch den Punkt A und den Extrempunkt des Graphen von f verläuft! Zeige, dass das Flächenstück FL durch diese Gerade im Verhältnis 1 : 7 geteilt wird! 4) Die Tangenten an den Graphen in den Punkten A, B und C begrenzen ein Dreieck PQR. Bestimme die Koordinaten der Dreieckseckpunkte P, Q und R und zeige, dass sich die Flächeninhalte der Dreiecke ABC und PQR wie 2 : 1 verhalten! a a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv