Mathematik verstehen 8, Schulbuch

32 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 2 . 2 Weglängen Weglänge als Integral Gegeben sei eine stetige Geschwindigkeitsfunktion v: t ¦ v(t), die jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit v(t) eines Körpers zuordnet. Wir setzen voraus, dass die Funktion v im Zeitintervall [a; b] nur nichtnegative Werte annimmt. Gesucht ist die Länge w(a, b) des im Zeit­ intervall [a; b] zurückgelegten Weges. Wir kennen keine Formel zur Berechnung einer solchen Weglänge, können diese aber wiederum näherungsweise berechnen, indem wir das Zeitintervall [a; b] in Teilintervalle zerlegen. In jedem Teilintervall nehmen wir gleichförmige Bewegung (dh. konstante Geschwindigkeit) an, berechnen die Längen der zurückgelegten Wege in den einzelnen Teilintervallen und summieren schließlich diese Weglängen. Gehen wir dabei in jedem Teilintervall von der kleinsten (bzw. größten) Geschwindigkeit in dem Teilintervall aus, erhalten wir eine Untersumme (bzw. Ober- summe ) für die gesamte Weglänge w(a, b). Anschaulich ist klar, dass für alle Untersummen U und alle Obersummen O von v in [a; b] gilt: U ª w(a, b) ª O Aufgrund der Definition des Integrals gilt aber auch für alle Untersummen U und alle Ober­ summen O von f in [a; b]: U ª ​ : a ​ b ​ v​(t) dt ª O Da es genau eine reelle Zahl gibt, die „zwischen“ allen Untersummen U und allen Obersummen O von v in [a; b] liegt, muss gelten: w(a, b) = ​ : a ​ b ​ v​(t) dt Wir haben somit begründet: Satz (Weglänge als Integral) Die Geschwindigkeitsfunktion v sei im Zeitintervall [a; b] stetig und es gelte v(t) º 0 für alle t * [a; b]. Für die Länge w(a, b) des im Zeitintervall [a; b] zurückgelegten Weges gilt: w(a, b) = ​ : a ​ b ​ v(t) dt​ Merke Die Weglänge ist das Integral der Geschwindigkeit nach der Zeit. 2 . 36 Ein Auto beschleunigt aus dem Stand (s(0) = 0, v(0) = 0). Seine Geschwindigkeit nach t Sekunden ist näherungsweise gegeben durch v(t) = 3t (m/s). 1) Gib eine Formel für den Ort s(t) zum Zeitpunkt t an! 2) Wie lang ist der zurückgelegte Weg im Zeitintervall [​t​ 1 ​;​t​ 2 ​]? 3) Wie lang ist der zurückgelegte Weg im Zeitintervall [2; 3]? R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv